Бревно на двух балках

Запишите условие равновесия бревна по силам, затем условие моментов сил для одной балки относительно шарнира; расстояние от шарнира до точки касания выразите через \(R\) и \(\alpha\).

Условие равновесия бревна: \(2N\sin\alpha=mg\), откуда \(N=\dfrac{mg}{2\sin\alpha}\), где \(N\) — сила реакции балки. Условие моментов сил, действующих на балку, относительно шарнира: \(Nx=Tl\cos\alpha\), где \(x\) — расстояние от шарнира до точки касания балки и бревна. Отсюда \[T=\frac{Nx}{l\cos\alpha}=\frac{mgx}{2l\sin\alpha\cos\alpha}.\] Геометрически \(x=R\,\mathrm{ctg}\dfrac{\alpha}{2}\), поэтому \[T=\frac{mgR}{2l\sin\alpha\cos\alpha\,\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}}=\frac{mgR}{4l\left(\sin^2\frac{\alpha}{2}-2\sin^4\frac{\alpha}{2}\right)}.\] Сила минимальна, когда знаменатель максимален. Производная по \(\frac{\alpha}{2}\) обращается в ноль при \(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\left(1-4\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)=0\), откуда \(\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}\), \(\alpha=60^\circ\). Тогда \(T_{\min}=\dfrac{2mgR}{l}\).