Перемотка киноплёнки

Число витков, заполняющих катушку, равно отношению радиуса катушки к толщине плёнки; оно же даёт длину плёнки через сумму длин витков. Время одного оборота при постоянной \(\omega\) одинаково.

Число оборотов плёнки, заполняющих катушку, \(n\), и толщина плёнки \(d\) связаны соотношением \(R=nd\). Полная длина плёнки \[l=2\pi d+2\pi\cdot2d+2\pi\cdot3d+\ldots+2\pi nd=2\pi d\,\frac{n(n+1)}{2}\approx\pi dn^2.\] С учётом \(R=nd\) получаем \(l=\pi Rn\), то есть \(n=\dfrac{l}{\pi R}\). Так как каждый оборот совершается за одинаковое время \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\), время перемотки \[t=nT=\frac{l}{\pi R}\cdot\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2l}{R\omega}.\]