Бусинка на нити через блоки

Запишите условие нерастяжимости нити для всех участков, привязанных к бусинке, и разложите скорость бусинки по направлениям этих участков.

Найдём, как движется бусинка. Пусть скорость бусинки \(v\) и направлена она так, как показано на рисунке. Тогда, поскольку нить нерастяжима, сумма проекций скорости бусинки на направления всех ниток, которые к ней привязаны, должна быть равна нулю. Поэтому, если скорость бусинки направлена под углом \(x\) к горизонтали, то \[v\cos(x + \alpha) + v\cos(x + 3\alpha) + v\cos\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = 0,\] где \(v\) — скорость бусинки. Отсюда \[\cos(x + \alpha) + \cos(x + 3\alpha) = \sin x.\] Используя формулы сложения тригонометрических функций, получим \[\operatorname{tg}x = \frac{\cos\alpha + \cos3\alpha}{1 + \sin\alpha + \sin3\alpha}.\] Это равенство определяет направление движения бусинки в первый момент времени, причём угол \(x\) острый, поскольку все тригонометрические функции в нём положительны.

Очевидно, ускорение бусинки определяется проекцией ускорения свободного падения на направление движения бусинки, а силы натяжения нити не оказывают никакого влияния на это ускорение. Действительно, во второй закон Ньютона в проекции на направление движения бусинки войдёт сумма \[T\cos(x + \alpha) + T\cos(x + 3\alpha) + T\cos\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right),\] где \(T\) — сила натяжения нити, которая равна нулю в соответствии с предыдущим равенством. Поэтому ускорение бусинки есть \[a = g\sin x,\] где \(x = \operatorname{arctg}\dfrac{\cos\alpha + \cos3\alpha}{1 + \sin\alpha + \sin3\alpha}\). Выражая синус через тангенс, можно получить ещё одно выражение для ответа: \[a = g\,\frac{\cos\alpha + \cos3\alpha}{\sqrt{\left(1 + \sin\alpha + \sin3\alpha\right)^2 + \left(\cos\alpha + \cos3\alpha\right)^2}} = g\,\frac{\cos\alpha + \cos3\alpha}{\sqrt{3 + 2\sin\alpha + 2\sin3\alpha + 2\cos2\alpha}}.\]