КПД двух треугольных циклов

Определите, на каких участках цикла газ получает тепло от нагревателя, а на каких отдаёт холодильнику. Сравните работу за цикл для треугольников с общей высотой и разными основаниями.

Поскольку все участки процессов — растущие прямые, на каждом из них газ контактирует либо только с нагревателем (и получает положительное тепло), либо только с холодильником (и отдаёт положительное тепло). Очевидно, что в процессе 1–2–3–1 контакт с нагревателем имеет место в процессах 1–2 и 2–3, контакт с холодильником — в процессе 3–1. Поэтому \[\eta = \eta_{1231} = \frac{A_{1-2-3-1}}{Q_{1-2-3}},\] где \(A_{1-2-3-1}\) — работа газа за цикл 1–2–3–1, \(Q_{1-2-3}\) — количество теплоты, полученное газом в процессе 1–2–3. Эту же формулу можно переписать через количество теплоты, отданное холодильнику. Поскольку \(A_{1-2-3-1} = Q_{1-2-3} - Q_{3-1}\), где \(Q_{3-1}\) — количество теплоты, переданное холодильнику в процессе 3–1, то \[\eta_{1231} = \frac{A_{1-2-3-1}}{A_{1-2-3-1} + Q_{3-1}} = \frac{1}{1 + Q_{3-1}/A_{1-2-3-1}}.\]

Так как треугольники 123 и 143 имеют одинаковую высоту, а основание треугольника 143 составляет \(4/5\) от основания треугольника 123, то площадь треугольника 143 составляет \(4/5\) от площади треугольника 123. Поэтому работа газа в цикле 1–4–3–1 составляет \(4/5\) от работы газа в цикле 1–2–3–1: \[A_{1-4-3-1} = \frac{4}{5}\,A_{1-2-3-1}.\] А поскольку в циклах 1–2–3–1 и 1–4–3–1 одинаковый участок, где происходит контакт с холодильником, то количество теплоты, переданное в них холодильнику, одинаковое. Поэтому для КПД цикла 1–4–3–1 имеем \[\eta_{1431} = \frac{\frac{4}{5}A_{1-2-3-1}}{\frac{4}{5}A_{1-2-3-1} + Q_{3-1}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{4}{5} + Q_{3-1}/A_{1-2-3-1}}.\] Выражая отношение \(Q_{3-1}/A_{1-2-3-1}\) из формулы для \(\eta_{1231}\) и подставляя его, получим \[\eta_{1431} = \frac{4\eta_{1231}}{5 - \eta_{1231}} = \frac{4\eta}{5 - \eta}.\]