Три тела на подвижном и неподвижном блоках

Запишите второй закон Ньютона для каждого тела, а затем выразите связь ускорений через перемещения верёвки и блока.

На каждое тело действуют сила тяжести и сила натяжения верёвки. Поэтому второй закон Ньютона для всех тел в проекции на ось, направленную вертикально вниз, даёт \[\begin{cases} ma_1 = T + mg, \\ 2ma_2 = 2mg - 2T, \\ 3ma_3 = 3mg - T. \end{cases}\] Здесь \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\) — ускорения тел массой \(m\), \(2m\) и \(3m\) соответственно, \(T\) — сила натяжения верёвки, привязанной к телам массой \(m\) и \(3m\), \(2T\) — сила натяжения верёвки, привязанной к телу \(2m\). Умножая первое уравнение на 2 и складывая его со вторым, а последнее уравнение на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим уравнения, в которые не входит сила натяжения верёвки: \[a_1 + a_2 = 2g, \qquad 3a_3 - a_2 = 2g.\] Получим уравнение связи ускорений. Если тело \(m\) совершило перемещение \(\Delta x_1\), а тело \(2m\) — перемещение \(\Delta x_2\), направленное вниз, то слева от неподвижного блока потребуется кусок верёвки длиной \(2\Delta x_2\) и освободится кусок верёвки длиной \(\Delta x_1\). Поэтому тело \(3m\) совершит перемещение \(\Delta x_1 - 2\Delta x_2\), направленное вертикально вниз. А это значит, что \[a_3 = a_1 - 2a_2.\] Решая систему уравнений, получим \[a_1 = \frac{8}{5}g, \qquad a_2 = \frac{2}{5}g, \qquad a_3 = \frac{4}{5}g.\] Все ускорения получились положительными, что означает, что направления ускорений были выбраны верными — все тела движутся вниз.