Осколки фейерверка падают в одну точку

Для осколка, упавшего в точку на расстоянии \(S\) за время \(T\), запишите горизонтальную и вертикальную компоненты движения. Исключите угол броска, получив связь между \(v_0\), \(S\) и \(T\); два осколка с одинаковой \(v_0\) дают второе уравнение.

Для осколка, упавшего в точку на расстоянии \(S\) за время \(T\): \(S = v_0\cos\theta\, T\), \(v_0\sin\theta\, T = gT^2/2\), откуда \[v_0^2 = \frac{S^2}{T^2} + \frac{g^2T^2}{4}.\] Для двух осколков с одинаковой \(v_0\) и временами \(T_1\) и \(T_2 = T_1 + \tau\) получаем \(T_1 T_2 = 2S/g = 6\text{ с}^2\), откуда \(T_1 = 2\text{ с}\), \(T_2 = 3\text{ с}\).

Максимальное расстояние на площадке \(L = v_0^2/g\) с \(v_0^2 = 225 + 100 = 325\text{ м}^2/\text{с}^2\): \(L = 32{,}5\text{ м}\).

Наименьший радиус кривизны первого осколка — в верхней точке, где скорость равна горизонтальной составляющей \(S/T_1 = 15\text{ м/с}\) и нормальное ускорение равно \(g\): \(R = (S/T_1)^2/g = 22{,}5\text{ м}\).