Прецессия оси Земли

Для части A сравните размерности: какая комбинация \(G\), \(\omega\), \(M_E\) и \(R\) даёт длину? Для части B поле кольца на оси можно получить, суммируя вклады малых элементов кольца.

Часть A.

A.1. Выразим размерности \(h_{max}\), \(G\), \(\omega\), \(M_E\) и \(R\) через основные размерности: длина \(L\), масса \(M\), время \(T\): \[[h_{max}] = L,\quad [G] = L^3M^{-1}T^{-2},\quad [\omega] = T^{-1},\quad [M_E] = M,\quad [R] = L.\] Соотношение из условия должно выполняться и для размерностей: \[L = \left(L^3M^{-1}T^{-2}\right)^{-1} T^{-\beta} M^{\gamma} L^{\delta}.\] После упрощения получаем \(L = L^{\delta-3}M^{\gamma+1}T^{2-\beta}\), откуда для показателей степени: \[0 = 2 - \beta,\qquad 0 = \gamma + 1,\qquad 1 = \delta - 3.\] Отсюда \(\beta = 2\), \(\gamma = -1\), \(\delta = 4\).

A.2. Из результата предыдущего пункта имеем \[h_{max} \propto \frac{\omega^2 R^4}{G M_E}.\] Здесь \(\omega = 2\pi/(24\ \text{ч}) = 7{,}27 \times 10^{-5}\ \text{с}^{-1}\). Используя 1 как безразмерную константу, получаем \(h_{max} = 21{,}9\) км.

Часть B.

B.1. Решение I: с помощью гравитационного потенциала. В произвольной точке на оси \(z\) потенциал \(U(z)\), создаваемый кольцом, равен \[U(z) = -G\frac{M_S}{\sqrt{z^2 + d_{SE}^2}}.\] Поле получаем дифференцированием по \(z\): \[g_z(z) = -\frac{dU}{dz} = -GM_S\frac{z}{(z^2 + d_{SE}^2)^{3/2}}.\] Разложив до первого порядка по \(z\), получаем \[g_z(z) \approx -GM_S\frac{z}{d_{SE}^3}.\] Знак «минус» означает, что \(g_z\) направлено к центру солнечного кольца.

Решение II: интегрирование полей. Малый элемент кольца массой \(dM\) создаёт на оси кольца на высоте \(z\) поле \[dg = \frac{G\,dM}{z^2 + d_{SE}^2}.\] Из-за симметрии результирующее поле в той же точке параллельно оси, поэтому берём только соответствующую компоненту: \[dg_z = -dg\cos\theta,\] где знак «минус» указывает направление \(-z\). Угол \(\theta\) одинаков для всех элементов кольца, и \[\cos\theta = \frac{z}{\sqrt{z^2 + d_{SE}^2}}.\] Используя эти три соотношения и интегрируя по массе кольца, получаем результирующее поле на оси на произвольной высоте: \[g_z = -GM_S\frac{z}{(z^2 + d_{SE}^2)^{3/2}}.\] Используя \(|z| \ll d_{SE}\), получаем упрощённо \[g_z \approx -GM_S\frac{z}{d_{SE}^3}.\]

Рис. B.1 (к решению).

B.2. Решение I: с помощью теоремы Гаусса. Радиальную компоненту поля \(g_r\) в плоскости солнечного кольца можно найти из гравитационной теоремы Гаусса (см. рис. B.2). Применим теорему к цилиндрической области высоты \(2|z|\) и радиуса \(r\): \[g_r \cdot 2z \times 2\pi r + g_z \cdot 2 r^2\pi = 0,\] откуда \[g_r(r) = -\frac{r}{2z}g_z(z) = \frac{GM_S}{2d_{SE}^3}\,r.\] Поле направлено радиально наружу.

Рис. B.2 (к решению).

Решение II: интегрирование потенциала. Возьмём точку \(P\) в плоскости солнечного кольца на расстоянии \(r\) от центра (см. рис. B.3). Расстояние \(s\) от малого элемента кольца с угловым размером \(d\varphi\), расположенного под углом \(\varphi\) к точке \(P\), по теореме косинусов равно \[s = \sqrt{d_{SE}^2 + r^2 - 2d_{SE}r\cos\varphi}.\] Гравитационный потенциал в точке \(P\), создаваемый малым участком, равен \[dU = -\frac{GM_S}{s}\frac{d\varphi}{2\pi},\] поэтому полный потенциал кольца в точке \(P\): \[U(r) = -\frac{GM_S}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left(d_{SE}^2 + r^2 - 2d_{SE}r\cos\varphi\right)^{-1/2} d\varphi.\] Делаем подынтегральное выражение безразмерным: \[U(r) = -\frac{GM_S}{2\pi d_{SE}}\int_0^{2\pi}\left(1 + \frac{r^2}{d_{SE}^2} - \frac{2r\cos\varphi}{d_{SE}}\right)^{-1/2} d\varphi.\] Для упрощения интеграла используем \(r \ll d_{SE}\). Введём величину \(\varepsilon = \dfrac{r^2}{d_{SE}^2} - \dfrac{2r\cos\varphi}{d_{SE}}\) (\(\varepsilon \ll 1\)) и разложим подынтегральное выражение до второго порядка по \(\varepsilon\): \[(1+\varepsilon)^{-1/2} \approx 1 - \frac{\varepsilon}{2} + \frac{3\varepsilon^2}{8}.\] Подставляя обратно выражение для \(\varepsilon\) и сохраняя члены до квадратичного порядка по \(r/d_{SE}\), получаем \[(1+\varepsilon)^{-1/2} \approx 1 - \frac{r^2}{2d_{SE}^2} + \frac{r\cos\varphi}{d_{SE}} + \frac{3r^2\cos^2\varphi}{2d_{SE}^2}.\] Третий член после интегрирования по \(\varphi\) обращается в нуль, поэтому \[U(r) = -\frac{GM_S}{2\pi d_{SE}}\int_0^{2\pi}\left(1 - \frac{r^2}{2d_{SE}^2} + \frac{3r^2\cos^2\varphi}{2d_{SE}^2}\right) d\varphi.\] Используя \(\int_0^{2\pi}\cos^2\varphi\, d\varphi = \pi\) (по аналогии с расчётом действительной мощности в цепях переменного тока), вычисляем интеграл: \[U(r) = -\frac{GM_S}{2\pi d_{SE}}\left(2\pi - 2\pi\frac{r^2}{2d_{SE}^2} + \frac{3\pi r^2}{2d_{SE}^2}\right).\] Это упрощается до \[U(r) = -\frac{GM_S}{d_{SE}} - \frac{GM_S r^2}{4d_{SE}^3}.\] Гравитационное поле — отрицательный градиент потенциала: \[g_r(r) = -\frac{dU}{dr} = \frac{GM_S}{2d_{SE}^3}\,r.\]

Рис. B.3 (к решению).

Часть C.

C.1. Эллипсоид вращения можно преобразовать в идеальную сферу радиуса \(R_e\) (см. рис. C.1), растянув его равномерно вдоль полярного диаметра в \(R_e/R_p\) раз, поэтому объём эллипсоида \[V_{ellipsoid} = \frac{4\pi}{3}R_e^3\frac{R_p}{R_e} = \frac{4\pi}{3}R_e^2R_p.\]

Рис. C.1 (к решению).

Объём одной из «лишних» областей: \[V = \frac12\left(\frac{4\pi}{3}R_e^3 - \frac{4\pi}{3}R_e^2R_p\right) = \frac{2\pi}{3}R_e^2 h_{max}.\] Плотность однородной Земли \(\varrho = 3M_E/(4\pi R_e^2R_p)\), поэтому масса одной «лишней» области \[m = \varrho V = \frac{3M_E}{4\pi R_e^2R_p}\cdot\frac{2\pi}{3}R_e^2h_{max} = \frac{h_{max}}{2R_p}M_E.\]

C.2. Момент сил, действующий на идеальную сферу радиуса \(R_e\), равен нулю из-за симметрии. Из принципа суперпозиции, описанного в условии, следует, что момент сил \(\vec\tau\), действующий на Землю-эллипсоид, равен по величине и противоположен по направлению моменту \(\vec\tau'\), действующему на две эквивалентные точечные массы (каждая массой \(2m/5\)): \(\vec\tau = -\vec\tau'\).

Рис. C.2 (к решению). Силы, действующие на две точечные массы.

Величину момента сил, действующего на точечные массы, можно вычислить с помощью рис. C.2: \[|\vec\tau'| = |\vec\tau| = 2F_zR\sin\alpha + 2F_rR\cos\alpha,\] где \[F_z = \frac25 m|g_z| = \frac25 mGM_S\frac{R\cos\alpha}{d_{SE}^3},\qquad F_r = \frac25 m|g_r| = \frac25 mGM_S\frac{R\sin\alpha}{2d_{SE}^3}.\] Подставляя эти силы в выражение для \(\tau'\) и упрощая, получаем \[|\vec\tau| = \frac65\frac{GmM_S}{d_{SE}^3}R^2\sin\alpha\cos\alpha.\] Используя результат части C.1, это можно записать в виде \[|\vec\tau| = \frac35\frac{GM_EM_S}{d_{SE}^3}\,Rh_{max}\sin\alpha\cos\alpha.\] Момент \(\vec\tau'\) направлен из плоскости рис. C.2, поэтому момент \(\vec\tau\), действующий на Землю-эллипсоид, направлен в плоскость рисунка.

Часть D.

D.1. Момент сил изменяет угловой момент Земли \(\vec L\): \[\vec\tau = \frac{d\vec L}{dt},\] где \(\vec L\) параллелен угловой скорости вращения Земли, а его величина (при однородном распределении массы и пренебрежении отклонением от сферы) равна \[|\vec L| = \frac25 M_E R^2\omega.\] Поскольку \(\vec\tau\) (т. е. скорость изменения вектора углового момента) перпендикулярна \(\vec L\), длина \(\vec L\) остаётся постоянной, но направление меняется, как показано на рис. D.1. В результате вектор \(\vec L\) описывает боковую поверхность конуса с половинным углом при вершине \(\alpha\).

Рис. D.1 (к решению).

По аналогии с равномерным движением по окружности можно записать связь между \(\vec L\), его производной по времени и угловой скоростью прецессии: \[\left|\frac{d\vec L}{dt}\right| = \Omega_1 |\vec L|\sin\alpha.\] Отсюда угловая скорость прецессии \(\Omega_1\): \[\Omega_1 = \frac{\tau}{L\sin\alpha} = \frac{\frac35 GM_EM_SRh_{max}\sin\alpha\cos\alpha/d_{SE}^3}{\frac25 M_ER^2\omega\sin\alpha},\] где использован найденный ранее \(\tau\). После упрощения \[\Omega_1 = \frac32\frac{GM_Sh_{max}}{d_{SE}^3R\omega}\cos\alpha.\] Отсюда период прецессии \[T_1 = \frac{2\pi}{\Omega_1} = \frac{4\pi}{3}\frac{d_{SE}^3R\omega}{GM_Sh_{max}\cos\alpha}.\]

D.2. Подставляя данные, получаем численное значение периода: \(T_1 = 80\,600\) лет.

Часть E.

E.1. Как мы видели в части D, угловая скорость прецессии пропорциональна моменту сил, а момент сил пропорционален величине \(M_S/d_{SE}^3\). При учёте влияния Луны моменты сил Солнца и Луны складываются, поэтому \[\Omega_2 = \frac{M_M/d_{ME}^3 + M_S/d_{SE}^3}{M_S/d_{SE}^3}\,\Omega_1.\] Отсюда получаем аналогичное выражение для периодов: \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{M_S/d_{SE}^3}{M_M/d_{ME}^3 + M_S/d_{SE}^3}.\]

E.2. Подставляя данные, получаем \(T_2 = 25\,400\) лет, что довольно близко к значению, полученному в современных наблюдениях.