Плотность планеты

Ускорение свободного падения на расстоянии \(r\) от центра планеты равно \(g(r) = GM(r)/r^2\), где \(M(r)\) — масса вещества, находящегося внутри сферы радиуса \(r\) с центром, совпадающим с центром планеты. Введём буквенное обозначение \(\Delta R = R - r\). В этом случае имеем: \[M(R) = M,\quad M(R - \Delta R) \approx M - 4\pi R^2\Delta R\rho_{\text{пов}},\] где \(\rho_{\text{пов}}\) — плотность вещества, из которого состоит поверхность планеты. Отсюда \[\dfrac{M - 4\pi R^2\Delta R\rho_{\text{пов}}}{(R - \Delta R)^2} \approx \dfrac{M}{R^2},\] \[MR^2 - 4\pi R^4\Delta R\rho_{\text{пов}} \approx MR^2 - 2MR\Delta R + M(\Delta R)^2.\] Пренебрегая последним слагаемым в правой части и учитывая, что объём сферы радиуса \(R\) равен \(\dfrac{4\pi R^3}{3}\), находим \[2\pi R^3\rho_{\text{пов}} = M = \dfrac{4}{3}\pi R^3\rho_{\text{ср}},\] где \(\rho_{\text{ср}}\) — средняя плотность вещества, из которого состоит планета. Отсюда \(\rho_{\text{пов}} = \dfrac{2}{3}\rho_{\text{ср}} = 3{,}7\) г/см\(^3\).