Заряды на нерастяжимой нити

Силу натяжения участка нити между первым и вторым зарядом можно найти как силу, с которой остальные заряды действуют на первый. Заметьте, что при уменьшении всех зарядов в два раза цепочка подобна исходной. Как выглядит равновесие второго заряда?

Модуль \(T\) равен модулю силы \(F\), с которой все остальные заряды действуют на первый заряд \(q\). По закону Кулона \[F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q\cdot q/2}{a^2} + \frac{q\cdot q/4}{(2a)^2} + \dots + \frac{q\cdot q/2^{N-1}}{((N-1)a)^2}\right) \sim q^2 .\] Мысленно удалим первый заряд \(q\) и добавим с противоположного конца новый заряд \(q/2^N\) на расстоянии \(a\) от последнего. Получится цепочка из \(N\) зарядов, подобная исходной, но все заряды в \(2\) раза меньше. Поэтому сила, действующая на заряд \(q/2\) в новой цепочке, равна \(F/4 = T/4\). Вычитая вклад добавленного заряда, находим силу \(F_1\), действующую на заряд \(q/2\) в исходной цепочке со стороны всех зарядов, кроме первого: \[F_1 = \frac{T}{4} - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{(q/2)\cdot(q/2^N)}{((N-1)a)^2} .\]

На заряд \(q/2\) действуют: сила натяжения \(T\) участка между первым и вторым зарядом (влево), сила \(F_1\) со стороны всех зарядов, кроме первого (влево), сила \(f\) отталкивания от первого заряда \(q\) (вправо), сила натяжения \(T_{23}\) (вправо). Равновесие даёт \(T + F_1 = f + T_{23}\), откуда, с учётом \(f = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q\cdot q/2}{a^2}\), \[T_{23} = T + F_1 - f = \frac{5}{4}\,T - \frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 a^2}\left(1 + \frac{1}{2^N (N-1)^2}\right) .\] При \(N = 2015\) второе слагаемое в скобках ничтожно мало по сравнению с единицей, поэтому \[T_{23}(2015) \approx \frac{5}{4}\,T - \frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 a^2} .\]