Мяч от стены обратно к бросающему

Горизонтальная скорость мяча после удара уменьшается вдвое и меняет направление. Сравните время полёта до стены и после неё. Какой угол броска даёт наибольшее расстояние?

Пусть \(L\) — расстояние от Васи до стены, мяч брошен со скоростью \(u\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Горизонтальная скорость до удара равна \(u\cos\alpha\), время полёта до стены \[t_1 = \frac{L}{u\cos\alpha} = t .\] После удара горизонтальная скорость равна \(\dfrac{u\cos\alpha}{2}\) и направлена к Васе, поэтому время полёта до возвращения в исходную точку по горизонтали \[t_2 = \frac{L}{u\cos\alpha/2} = 2t .\] Вертикальная координата в момент удара \(y(t) = u\sin\alpha\cdot t - \dfrac{gt^2}{2}\), вертикальная скорость перед ударом \(u\sin\alpha - gt\), сразу после удара она вдвое меньше: \(\dfrac{1}{2}(u\sin\alpha - gt)\).

Мяч должен вернуться в точку броска, поэтому \[u\sin\alpha\cdot t - \frac{gt^2}{2} + \frac{1}{2}(u\sin\alpha - gt)\cdot 2t - \frac{g(2t)^2}{2} = 0 .\] Отсюда \(u\sin\alpha = \dfrac{7}{4}\,g t\), и, подставляя \(t = \dfrac{L}{u\cos\alpha}\), \[L = \frac{2u^2\sin 2\alpha}{7g} .\] Максимальное значение \(\sin 2\alpha\) равно \(1\) и достигается при \(\alpha = \pi/4\). Поэтому \[L_{\max} = \frac{2u_0^2}{7g} .\]