Призма с водой, вытекающей из-под неё

Вода начинает вытекать, когда сила давления воды на боковые стенки, направленная вниз, сравнивается с силой тяжести призмы. Как найти вертикальную составляющую силы давления на наклонную стенку?

Силу тяжести, действующую на призму, должна уравновешивать вертикальная составляющая силы давления воды на её стенки. Найдём силу давления \(\Delta F\) на малый участок одной из наклонных стенок высотой \(\Delta x\), находящийся на глубине \(x\): \[\Delta F = \frac{\rho g x\, L\,\Delta x}{\cos\alpha} .\] Проекция этой силы на вертикальную ось равна \[\Delta F_{\text{в}} = -\rho g x\, L\,\Delta x\,\text{tg}\,\alpha .\] Полная вертикальная сила \(F_{\text{в}}\) на стенку получается как площадь под графиком \(\Delta F_{\text{в}}/\Delta x\) от \(x\) на отрезке от \(0\) до \(h\); график линеен с угловым коэффициентом \(\rho g L\,\text{tg}\,\alpha\): \[F_{\text{в}} = -\frac{\rho g L\,\text{tg}\,\alpha\, h^2}{2} .\] У призмы две такие стенки, поэтому условие равновесия \(mg + 2F_{\text{в}} = 0\) даёт \[m = \rho L h^2\,\text{tg}\,\alpha .\]