Рыбка и движущееся зеркало

Для наблюдателя в воздухе рыбка видна ближе, чем она есть на самом деле, на глубине \(d/n\) (в параксиальном приближении). Какие расстояния меняются со временем и с какой скоростью?

Пусть \(d\) — расстояние от рыбки до стенки аквариума, \(h\) — расстояние от стенки аквариума до зеркала. Рассмотрим два луча из точки, где находится рыбка: один падает на стенку перпендикулярно, другой — под малым углом \(\alpha\). В параксиальном приближении \(\sin\alpha \approx \text{tg}\,\alpha \approx \alpha\), и закон преломления \(\dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha} = n\) даёт \(\beta \approx n\alpha\). Преломлённые лучи выходят из точки, находящейся на расстоянии \(d/n\) от стенки. Значит, изображение рыбки в зеркале находится на расстоянии \(h + d/n\) от зеркала.

Для наблюдателя в точке \(A\) (расстояние от зеркала \(h + d/n\), зеркало движется к стенке со скоростью \(u\), рыбка к стенке со скоростью \(v\)): \[v_A = \frac{d}{dt}\left(h + \frac{d}{n}\right) = -\left(u + \frac{v}{n}\right) .\] Знак минус означает, что изображение движется к наблюдателю.

Чтобы найти скорость изображения с точки зрения рыбки, рассмотрим преломление отражённых от зеркала лучей. Расстояние от изображения до стенки аквариума равно \(2h + d/n\), а кажущееся для рыбки расстояние в \(n\) раз больше, то есть \(2nh + d\). Добавляя расстояние \(d\) от самой рыбки до стенки, получаем кажущееся рыбке расстояние до изображения \(2nh + 2d\). Его скорость изменения \[v_{\text{рыб}} = \left|\frac{d}{dt}(2nh + 2d)\right| = 2(nu + v) .\]