Теплообменник

Пока в смеси есть лёд, её температура не меняется, и всё тепло горячей воды идёт на плавление: запишите баланс для малого участка трубы. Массовый расход смеси одинаков во всех сечениях, а плотность смеси зависит от доли льда.

Пока в смеси есть лёд, её температура \(0\,^\circ\text{C}\). Всё тепло от горячей воды идёт на плавление льда.

Далее будем рассматривать изменение всех величин вдоль оси \(x\). Выделим элементарный участок трубы длиной \(\Delta x\), настолько малый, что можно считать скорость движения смеси постоянной. За время \(\Delta\tau\) внутри выделенного объёма масса льда изменится на: \[\Delta m_\text{л} = \mu_\text{х}\Delta\tau\,\Delta\alpha.\] Изменение внутренней энергии горячей воды: \[\delta Q_2 = -c\mu_\text{г}\Delta\tau\,\Delta T_\text{г}.\] Так как теплопотерями в окружающую среду и теплоёмкостью стенок можно пренебречь и режим течения является установившимся, то изменение внутренней энергии выделенного элемента равно 0: \[\Delta U = 0; \quad -\lambda\mu_\text{х}\Delta\alpha - c\mu_\text{г}\Delta T_\text{г} = 0. \tag{1}\] Из выражения (1) следует, что \[\frac{\Delta T_\text{г}}{\Delta\alpha} = -\frac{\lambda\mu_\text{х}}{c\mu_\text{г}} = \text{const}. \tag{2}\] Отсюда следует, что \[T_\text{г}(L) - T_\text{г}(0) = \frac{\mu_\text{х}\lambda}{\mu_\text{г}c}\bigl(\alpha(0) - \alpha(L)\bigr),\] где \(\alpha(0) = 0{,}4\), \(\alpha(L) = 0{,}1\). Отсюда \[T_\text{г}(0) = T_\text{г}(L) - \frac{\mu_\text{х}\lambda}{\mu_\text{г}c}\bigl(\alpha(0) - \alpha(L)\bigr),\] или: \[T_\text{г}(0) = 26{,}5\,^\circ\text{C}.\] Разделим числитель и знаменатель левой части выражения (2) на \(\Delta x\) и получим: \[\frac{\Delta T_\text{г}}{\Delta x} = -\frac{\lambda\mu_\text{х}}{c\mu_\text{г}}\,\frac{\Delta\alpha}{\Delta x} = 6{,}7\,^\circ\text{C/м}.\] Тогда: \[T(x) = 26{,}5\,^\circ\text{C} + 6{,}7x.\] График зависимости температуры \(T_\text{г}(x)\) горячей воды от координаты приведён на рисунке.

Рассмотрим элементарный участок трубы длиной \(\Delta x\). Объём смеси равен \[\Delta V = \Delta V_\text{л} + \Delta V_\text{в},\] где \(\Delta V_\text{л}\) и \(\Delta V_\text{в}\) — объёмы твёрдой и жидкой фаз. Тогда \[\Delta V = \frac{\alpha(x)\,\Delta m}{\rho_\text{л}} + \frac{(1 - \alpha(x))\,\Delta m}{\rho_\text{в}}.\] Плотность смеси: \[\rho(x) = \frac{\Delta m}{\Delta V} = \left(\frac{\alpha(x)}{\rho_\text{л}} + \frac{1 - \alpha(x)}{\rho_\text{в}}\right)^{-1}.\] Массовый расход постоянен: \[\mu = S\,\rho(x)\,v(x),\] откуда \[v(x) = \frac{\mu_\text{х}}{S\,\rho(x)} = \frac{\mu_\text{х}}{S}\left(\frac{\alpha(x)}{\rho_\text{л}} + \frac{1 - \alpha(x)}{\rho_\text{в}}\right).\] С учётом того, что \[\alpha(x) = 0{,}4 - 0{,}06x,\] \[v(x) = \frac{\mu_\text{х}}{S\rho_\text{в}\rho_\text{л}}\bigl(0{,}6\rho_\text{л} + 0{,}4\rho_\text{в} - 0{,}06x(\rho_\text{в} - \rho_\text{л})\bigr).\]