Сани и собака

Считайте силу реакции саней на собаку во время короткого прыжка импульсной: импульс силы тяжести пренебрежимо мал. Как изменится горизонтальный импульс саней и какой путь они пройдут до остановки?

Перед прыжком горизонтальный импульс собаки равен \(mv_0\). Сразу после прыжка её импульс \(mu\) направлен под углом \(\alpha\) к горизонту. Во время прыжка на собаку действуют сила тяжести и сила реакции \(\vec F\) со стороны саней; для удобства \(\vec F\) разложена на составляющие \(F_x\) и \(F_y\). Линия действия силы считается неизменной за время прыжка, а сила тяжести пренебрежимо мала по сравнению с импульсом силы реакции. Второй закон Ньютона в импульсной форме даёт \[F_x\,\Delta t = m(u\cos\alpha - v_0), \qquad F_y\,\Delta t = mu\sin\alpha.\] Сила реакции со стороны земли на сани \(N = Mg + F_y\), сила трения \(F_{\text{тр}} = \mu N\). Горизонтальный импульс саней меняется за время прыжка на \[\Delta P_x = -(\mu F_y + F_x)\,\Delta t = -m\left(\mu u\sin\alpha + u\cos\alpha - v_0\right)\] (слагаемым \(\mu Mg\) по сравнению с бесконечно большими слагаемыми пренебрегаем). Отсюда скорость саней сразу после прыжка \[v = v_0 + \frac{\Delta P_x}{M} = v_0 - \frac{m}{M}\left(\mu u\sin\alpha + u\cos\alpha - v_0\right).\] Предположим, что \(v > 0\). После прыжка \(N = Mg\), \(F_{\text{тр}} = \mu Mg\), и сани замедляются с ускорением \(\mu g\). Путь до остановки \[S = \frac{v^2}{2\mu g}.\] Дальность полёта собаки \[L = \frac{u^2\sin 2\alpha}{g}.\] Если \(S \ge L\), то сани доедут до собаки; иначе они остановятся на расстоянии \(L - S\) от неё.

Если \(\mu \ge \dfrac{u\cos\alpha - v_0}{u\sin\alpha}\), то сила трения покоя может удержать сани, и после обращения их скорости в нуль собака завершает прыжок, отталкиваясь от неподвижных саней: тогда сани останутся на месте прыжка, и искомое расстояние равно \(L\).

Если же скорость саней в ходе прыжка меняет знак, то после её обращения в нуль сила трения меняет направление; в этом случае, по официальному решению, после прыжка скорость саней \[v' = -\frac{\mu u\sin\alpha - u\cos\alpha + v_0}{\mu u\sin\alpha + u\cos\alpha - v_0}\left(v_0 - \frac{m}{M}\left(\mu u\sin\alpha + u\cos\alpha - v_0\right)\right),\] путь саней до остановки \(S' = \dfrac{v'^2}{2\mu g}\), и итоговое расстояние между собакой и санями равно \(L + S'\).