Экспериментатор Люба собирает из проволоки необычную электрическую схему. Сначала она спаяла большой квадрат и измерила сопротивление между точками \(A\) и \(B\) (см. рис. а). Это сопротивление оказалось равным \(R\). Затем Люба добавила меньший квадрат, как показано на рис. б. После этого она впаяла в схему ещё один квадрат и получила схему на рис. в. Далее Люба продолжила добавлять квадраты в свою схему, повторяя описанные выше шаги. Какое сопротивление измерит Люба между точками \(A\) и \(B\) после добавления очень большого количества квадратов? Проволока однородная и имеет постоянное поперечное сечение.

\(R_* = \dfrac{1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}\,R \approx 0{,}66\,R\).

Квадраты из проволоки — Санкт-Петербургская 2022/23, 10 кл., задача 5

Квадраты из проволоки
Санкт-Петербургская 2022/23, 10 кл.
7/10
Экспериментатор Люба собирает из проволоки необычную электрическую схему. Сначала она спаяла большой квадрат и измерила сопротивление между точками \(A\) и \(B\) (см. рис. а). Это сопротивление оказалось равным \(R\). Затем Люба добавила меньший квадрат, как показано на рис. б. После этого она впаяла в схему ещё один квадрат и получила схему на рис. в. Далее Люба продолжила добавлять квадраты в свою схему, повторяя описанные выше шаги. Какое сопротивление измерит Люба между точками \(A\) и \(B\) после добавления очень большого количества квадратов? Проволока однородная и имеет постоянное поперечное сечение.

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Сопротивление проволоки пропорционально её длине. Если добавить два больших квадрата с внешней стороны, схема станет подобной исходной и вдвое большей. Используйте симметрию относительно оси \(CC'\).
Ответ
\(R_* = \dfrac{1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}\,R \approx 0{,}66\,R\).
Решение
Сопротивление участка проволоки пропорционально его длине. Поскольку сопротивление одного большого квадрата между \(A\) и \(B\) равно \(R\), сопротивление его ребра также равно \(R\). Обозначим искомое сопротивление бесконечной схемы \(R_*\).

Если к схеме Любы добавить два больших квадрата с внешней стороны, схема станет подобна исходной и вдвое больше по размеру; её сопротивление равно \(2R_*\). Из симметрии ясно, что точки на оси \(CC'\) эквипотенциальны, поэтому проволоку в узлах \(C\) и \(C'\) можно «расцепить»: заштрихованный квадрат с большим числом сопротивлений заменяем на резистор \(R_*\), представленный двумя последовательными резисторами \(R_*/2\).

Все точки на оси \(CC'\) эквипотенциальны, поэтому можно рассмотреть половину схемы, умножив её сопротивления на \(2\). Точки \(D\) и \(D'\) имеют одинаковые потенциалы и объединяются в один узел; пары параллельных резисторов заменяем эквивалентными. Получаем сопротивление \[R + \frac{R(R + \sqrt{2}R_*)}{(1 + 2\sqrt{2})R + (1 + \sqrt{2})\sqrt{2}R_*}.\] Приравнивая его к \(2R_*\), получаем квадратное уравнение \[2(\sqrt{2} + 1)R_*^2 + \sqrt{2}\,RR_* - (\sqrt{2} + 1)R = 0.\] Его положительный корень \[R_* = \frac{\sqrt{9 + 6\sqrt{2}} - 1}{2(\sqrt{2} + 1)}\,R = \frac{1 + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{2}\,R \approx 0{,}66\,R.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Квадраты из проволоки

Квадраты из проволоки

Похожие задачи