Горка на столе

Отрыв происходит, когда момент сил относительно ребра \(O\) обнуляется. Найдите, как минимальная энергия грузика зависит от его массы: это линейная зависимость \(E = a\,m + b\) с двумя неизвестными константами.

Пусть центр масс горки \(M\) расположен на расстоянии \(x\) по горизонтали от точки \(O\) (левее неё, иначе горка опрокинулась бы и без грузиков). Когда суммарный момент сил, действующих на горку, относительно ребра, проходящего через \(O\), равен нулю, точка \(A\) начинает отрываться от стола: \[Mgx = P_i d_i,\] где \(P_i = m_i g\cos\alpha\) — сила, с которой грузик массой \(m_i\) действует на горку (перпендикулярно поверхности), \(d_i\) — её плечо. Из подобия прямоугольных треугольников получаем \(d_i = L\sin^2\alpha + l_i\), где \(L\), \(l_i\) и \(\alpha\) обозначены на рисунке. Поэтому \[Mgx = m_i g\cos\alpha\,(L\sin^2\alpha + l_i).\]

Минимальная энергия соответствует моменту, когда грузик останавливается в высшей точке, а вся его кинетическая энергия переходит в потенциальную: \(E_i = m_i g h_i\), где \(h_i = (L + l_i)\sin\alpha\). Выражая отсюда \(l_i\) через \(x\) и подставляя, получаем \[E_i = m_i\,gL\sin\alpha\cos^2\alpha + Mgx\tan\alpha.\] Параметры горки \(a = gL\sin\alpha\cos^2\alpha\) и \(b = Mgx\tan\alpha\) не зависят от грузиков, поэтому \(E_i = a\,m_i + b\). Константы находим по двум данным парам: \[a = \frac{E_2 - E_1}{m_2 - m_1}, \qquad b = \frac{E_1m_2 - E_2m_1}{m_2 - m_1}.\] Искомая энергия \[E_3 = a\,m_3 + b = \frac{E_2m_2 - E_1m_1}{m_2 - m_1}.\]