Двулучепреломление в кварце

В этой задаче не требуется оценивать погрешности.

Двулучепреломление – оптическое свойство кристалла в соответствии с которым свет в кристалле распространяется вдоль двух лучей, которым отвечают различные показатели преломления. Пусть две перпендикулярные оси \(x\) и \(y\) лежат в плоскости, параллельной поверхности двулучепреломляющего кристалла (рис. 1). Тогда электрическое поле \(\pmb{E}\) линейно поляризованного света, падающего на кристалл по нормали к поверхности, можно разложить на две перпендикулярные компоненты \(\pmb{E}_x\) и \(\pmb{E}_y\), которым отвечают показатели преломления \(n_\mathrm{o}\) и \(n_\mathrm{e}\) соответственно. Если толщина кристалла равна \(L\), фазовый сдвиг после прохождения кристалла равен \(\Gamma_x\) в случае поляризации вдоль оси \(x\) и \(\Gamma_y\) в случае поляризации вдоль оси \(y\).

\[\Gamma_x = \frac{2\pi}{\lambda} n_\mathrm{o}L,\]

\[\Gamma_y = \frac{2\pi}{\lambda} n_\mathrm{e}L,\]

где \(\lambda\) – длина волны света в вакууме.

Рисунок 1: Разложение вектора электрического поля \(\pmb{E}\) линейно поляризованной волны при нормальном падении на поверхность двулучепреломляющего кристалла.

Разность фаз \(\Gamma\) между двумя лучами

\[\Gamma = \Gamma_y - \Gamma_x = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta{n}L,\]где

\[\Delta{n} = n_\mathrm{e} - n_\mathrm{o}\]разность показателей преломления. Поскольку электрическое поле представляет собой векторную сумму полей \(\pmb{E}_x\) и \(\pmb{E}_y\) с разностью фаз \(\Gamma\), после прохождения через кристалл у поля возникает компонента электрического поля, перпендикулярная к направлению исходной поляризации падающего света.

Пусть \(I_\parallel\) и \(I_\perp\) обозначают интенсивности после прохождения кристалла составляющих света с поляризациями параллельными и перпендикулярными к направлению линейной поляризации падающего света соответственно. Далее угол линейной поляризации падающего света (\(\pmb{E}\) на рис. 1) с осью \(x\) равен 45°. Тогда нормированную интенсивность перпендикулярной компоненты \(I_\mathrm{Norm}\) можно вычислить по формуле

\[I_\mathrm{Norm}= \frac{I_\perp}{I_\mathrm{Total}} = \sin^2\frac{\Gamma}{2},\]где \(I_\mathrm{Total}\) – полная интенсивность прошедшего света, \(I_\parallel + I_\perp\).

Мы можем провести эксперимент в котором \(I_\mathrm{Norm}\) изменяется между 0 и 1 при изменении длины волны падающего света. Пусть \(\lambda_m \ (m = 1, 2, 3, \cdots )\) – длины волн, при которых \(I_\mathrm{Norm} = 0;\) тогда мы можем найти соответствующие разности фаз \(\Gamma_m\)

\[\Gamma_m = \frac{2\pi}{\lambda_m}\Delta{n}(\lambda_m)L = 2\pi m.\]Это уравнение позволяет определить толщину кристалла \(L\), если можно измерить разные значения \(\lambda_m\) при известном значении \(\Delta{n}(\lambda_m)\).

В этом эксперименте вам нужно определить толщину пластинки из кварца. Кварц – двулучепреломляющий кристалл с показателями преломления \(n_\mathrm{o}\) и \(n_\mathrm{e}\), зависимость которых от длины волны в вакууме показана на рис. 2.

Рисунок 2: Зависимость показателей преломления \(n_\mathrm{o}\) и \(n_\mathrm{e}\) от длины волны для кварца.

На рисунке 3 показана установка для измерения толщины. На рис. 4 и 5 показаны оптические и механические компоненты и устройства. Белый светодиод (LED, light-emitting diod) используется как источник света, он состоит из голубого светодиода и слоя фотолюминофора. Когда свет от голубого светодиода освещает фотолюминофор, испускается белый свет с непрерывным спектром. Свет от белого светодиода разделяется на монохроматические компоненты с помощью дифракционной решетки G, и линейно поляризуется с помощью поляроида P1. Его направление поляризации (\(\pmb{E}\) на рис. 1) образует угол 45° с осью \(x\) кварцевой пластинки Q. Компонента поляризации света после прохождения через Q, параллельная или перпендикулярная направлению P1, выбирается вращением поляроида P2. Фотодетектор измеряет интенсивность света.

Рисунок 3: (a) Схема и (b) фотография установки для измерения толщины. LED: белый светодиод, S: щель, L1: собирающая линза, G: пропускающая дифракционная решетка, P1: поляроид, Q: кварцевая пластинка, P2: поляроид, L2: собирающая линза, C: экранирующий цилиндр, не пропускающий свет, PD: фотодетектор, DMM: цифровой мультиметр.

Рисунок 4: Компоненты и устройства: 1(a). белый светодиод (вид спереди); 1(b). белый светодиод (вид сзади); 2. батарейки; 3. щель (S на рис. 3); 4. белый светодиод с прикрепленной щелью; 5. линзы (L1, L2 на рис. 3); 5(a) установленная линза; 5(b) стойка для линзы; 5(c) подставка для стойки; 6. пропускающая дифракционная решетка (6(a) спереди; 6(b) сзади с липкой лентой) на 6(c) вращающейся подставке (G на рис. 3); 6(d) транспортир на вращающейся подставке; 7. поляроид (P1 на рис. 3); 8. кварцевая пластинка (Q на рис. 3); 9. поляроид на вращающейся подставке (P2 на рис. 3).

Рисунок 5: Компоненты и устройства (продолжение): 10. экранирующий цилиндр, не пропускающий свет, с магнитом (C на рис. 3); 11. цилиндрическая подставка; 12. фотодетектор (PD на рис. 3); 13. фотодетектор с цилиндром; 14. цифровой мультиметр (DMM на рис. 3); 15. короткий рельс; 16. длинный рельс; 17. экран с миллиметровой бумагой ; 18. белая карточка; 19. черная карточка; 20. листы, предотвращающие проскальзывание; 21 \(\&\\)22. коробка, не пропускающая свет (до и после сборки).

Часть A. Установка для измерений (2.3 балла)

Свет от светодиода падает на дифракционную решетку (рис. 6). Пусть угол поворота \(\theta\) дифракционной решетки G равен 0° в случае нормального падения. Вращению против часовой стрелки и по часовой стрелки отвечают знаки + и - соответственно. Угол дифракции первого порядка \(\alpha\) определен на рисунке. Используя период (расстояние между щелями) \(d\) дифракционной решетки G, можно выразить длину волны \(\lambda\) через \(\theta\) как

\[\lambda = d\sin(\alpha-\theta) + d\sin\theta\]

\[\quad = 2d\sin\frac{\alpha}{2}\cos\left(\frac{\alpha}{2}-\theta\right).\]

Далее используйте \(d=1.00\) мкм и постоянный угол дифракции \(\alpha = 40.0\)°.

Рисунок 6: Угол поворота \(\theta\) дифракционной решетки G и угол дифракции \(\alpha\).

A1. Вычислите наибольшую длину волны \(\lambda\), которую можно измерить, и отвечающее ей значение \(\theta\).

A2. Найдите численные значения \(\theta\) для \(\lambda = 440\) нм.

Процедура измерений для установки имеет следующий вид.

[1] Установите экран с миллиметровой бумагой вертикально (17 на рис. 5) используя подставку (17(b)).

[2] Вставьте две батарейки в модуль белого светодиода. Сторона со знаком ''+'' должна быть направлена к вам.

[3] Включите светодиод.

[4] Уберите винт на передней стороне модуля светодиода. Этим винтом прикрепите щель к модулю светодиода (4 на рис. 4). Используя экран с миллиметровой бумагой, выровняйте положение щели таким образом, чтобы яркость проходящего света была максимальной, и измерьте высоту центра пучка света в момент его выхода из щели (нужно для процедуры [9]).

[5] Поместите U-образный открытый конец длинного рельса на соответствующий конец короткого рельса (рис. 7(i)). Вставьте ось вращения, расположенную на вращающейся подставке, в отверстие, образовавшееся между двумя рельсами (рис. 7(ii)). Убедитесь, что оба рельса могут вращаться плавно и легко относительно этой оси. 7(iii). Убедитесь, что длинный рельс останется на столе при поворотах на углы в диапазоне \(0\)° \(\leq \alpha \leq 40.0\)°.

Рисунок 7: (i) U-образный открытый конец короткого рельса под таким же концом длинного рельса образуют отверстие. (ii) В это отверстие вставьте ось, расположенную на вращающейся подставке. (iii) Вид сверху на вращающуюся подставку, на которой расположены два рельса, которые могут свободно вращаться вокруг вертикальной оси. 1. короткий рельс; 2. длинный рельс; 3. вращающаяся подставка; 4. ось на вращающейся подставке.

[6] Установите центральную линию короткого рельса напротив угла 0° на транспортире, не сдвигайте ее. Вы можете подложить лист, предотвращающие проскальзывание, под этот рельс.

[7] Соберите линзы (5 на рис. 4).

[8] Поместите модуль светодиода с щелью и линзой (L1 на рис. 3) на короткий рельс. Отъюстируйте расстояние между щелью и линзой L1 так, чтобы размер пучка света, распространяющегося после L1, оставался практически постоянным вдоль лучей света.

[9] Используя экран с миллиметровой бумагой, измерьте высоту пучка света после L1. Отъюстируйте уровень L1 освобождая винты на подставке и двигая ее так, чтобы высота луча света оставалась практически такой же, как сразу после щели.

[10] Установите центральную линию длинного рельса напротив угла \(180^\circ\) на транспортире.

[11] Пошевелите подставку для линзы (5(a) на рис. 4) в горизонтальном направлении. Для этого ослабьте винты и подвигайте ее влево или вправо. Центр луча после L1 должен совпадать с центральной линией длинного рельса. Вы можете разместить экран с миллиметровой бумагой над длинным рельсом.

[12] С помощью двусторонней клейкой ленты на задней стороне дифракционной решетки (6(b) на рис. 4) прикрепите ее к верху оси на вращающейся подставке (6 на рис. 4).

[13] Поверните переднюю сторону дифракционной решетки к источнику света, вращайте подставку таким образом, чтобы отраженный свет попадал в щель, то есть \(\theta = 0\)° (нормальное падение). Запишите угол поворота \(\theta_\mathrm{Stage}\) вращающейся подставки в этом положении. Он будет использован в пункте B.1.

[14] Поверните длинный рельс вокруг оси таким образом, чтобы получить угол \(\alpha = 40.0\)° (рис. 6). Когда вы получите нужный угол, можете положить под рельс другой лист, предотвращающий проскальзывание.

[15] Поместите линзу (L2 на рис. 3) и фотодетектор (PD на рис. 3) на цилиндрических подставках на длинный рельс. Чтобы сфокусировать дифрагировавший свет на фотодетекторе PD, отъюстируйте расстояние между PD и линзой L2 вдоль рельса, а также высоту L2. При этом минимизируйте вертикальный размер пучка. Проверьте диаметр пучка с помощью белой карточки. Если свет слишком тусклый, чтобы его можно заметить невооруженным глазом, используйте коробку, чтобы закрыть фотодетектор PD.

[16] Разместите не пропускающий свет цилиндр на подставке (13 на рис. 5). Этот цилиндр убирает лишнюю засветку.

[17] Подключите фотодетектор PD к мультиметру DMM. Красный (черный) провод подсоединяется к красному (черному) выводу. Используйте мультиметр в режиме измерения постоянного напряжения DC.

[18] Отъюстируйте высоту линзы L2, максимизируя показания мультиметра DMM. Далее считайте, что интенсивность падающего света – это напряжение на мультиметре DMM.

A3. Поворачивайте вращающуюся подставку и найдите угол \(\theta\) и соответствующую длину волны \(\lambda_\mathrm{Peak}\), при которой спектральная плотность излучения синего светодиода максимальна, считая что \(\alpha = 40.0^\circ\). Если ваш ответ для \(\lambda_\mathrm{Peak}\) находится между 450 нм и 460 нм, установка отъюстирована правильно; запишите значение \(\alpha = 40.0^\circ\) в листе ответов и продолжайте. Иначе вам нужно определить настоящее значение \(\alpha\). Ничего не меняя, включая ваше начальное значение \(\lambda_\mathrm{Peak}\), найдите исправленное значение \(\alpha\), при котором ваше \(\lambda_\mathrm{Peak}\) попадет в нужный диапазон. Запишите это значение \(\alpha\) в листе ответов и используйте его в оставшейся части задачи.

[19] Установите поляризаторы (P1 и P2 на рис. 3) на длинный рельс.

A4. Поверните вращающуюся подставку в положение с углом \(\theta = -15.0\)°. Наблюдайте показания DMM и найдите угол \(\varphi_\perp\) вращения оправы поляризатора P2, плоскость поляризации которого перпендикулярна плоскости поляризации света, прошедшего через поляризатор P1. Из этого результата найдите угол \(\varphi_\parallel\) вращения оправы поляризатора P2 , когда его плоскость поляризации параллельна плоскости поляризации поляризатора P1.

A5. Перекройте свет, проходящий через щель, поместив чёрную карточку перед щелью. Таким способом Вы можете оценить величину фона, т.е. смещение нуля интенсивности(offset). Интенсивности света \(I_{\mathrm{Offset}~\perp}\) и \(I_{\mathrm{Offset}~\parallel}\) определяются, когда углы установки поляроида P2 равны \(\varphi_\perp\) и \(\varphi_\parallel\), соответственно. Измерьте смещения \(I_{\mathrm{Offset}~\perp}\) и \(I_{\mathrm{Offset}~\parallel}\). Заметьте, что \(I_{\mathrm{Offset}~\perp}\) и \(I_{\mathrm{Offset}~\parallel}\) относятся к свету, исходящему не от основного источника. Их следует устранить путем вычитания с целью определения вклада исключительно от основного источника света.

A6. \(I_\perp\) и \(I_\parallel\) - интенсивности света источника при углах вращающейся оправы поляризатора P2 равных соответственно \(\varphi_\perp\) и \(\varphi_\parallel\). Измерьте интенсивности света \(I_\perp\) и \(I_\parallel\) для \(\theta = -15.0\)°.

Часть B. Измерение интенсивностей прошедшего света(4.7 балла)

Далее используйте значения \(\lambda\) вычисленные с использованием поправки \(\alpha\) в разделе A.3 как заданные.

B1. Установите кварцевую пластинку между поляроидами P1 и P2 и измерьте интенсивности прошедшего света \(I_\perp\) и \(I_\parallel\) для различных углов \(\theta\). Ваши измерения должны полностью покрывать диапазон длин волн от 440 нм до 660 нм или шире. Для каждого измерения занесите в таблицу следующие параметры: \(\theta_\mathrm{Stage}\) (угол поворота вращающейся подставки), \(\theta, \ \lambda, \ I_\perp, \ I_\parallel, \ I_\mathrm{Total} = I_\perp+I_\parallel, \ I_\mathrm{Norm}= I_\perp / I_\mathrm{Total}\). Заметьте, что когда значение \(\theta_\mathrm{Stage}\) увеличивается, значение \(\theta\) уменьшается на ту же величину, и наоборот. Вам не нужно использовать все строки предоставленной таблицы, но нужно провести достаточно измерений, чтобы получить точные результаты.

B2. Постройте график спектра белого диода, т.е. зависимость \(I_\mathrm{Total}\) от длины волны.

B3. Найдите полную ширину на полувысоте \(\Delta\lambda_\mathrm{FWHM}\) спектра синего светодиода, встроенного в белый светодиод. Это ширина пика, измеренная между двумя точками, в которых интенсивность в два раза меньше максимальной.

B4. Постройте график спектра \(I_\mathrm{Norm}\).

Часть C. Обработка результатов измерений (3.0 балла)

C1. Из графика \(I_\mathrm{Norm}\) найдите все длины волн, при которых интенсивность проходит через локальный минимум. Соответствующий номер порядка \(m\) из уравнения (6) приведите под соответствующей длиной волны. Для определения разности показателей преломления \(\Delta{n}\) используйте значения \(n_\mathrm{o}\) и \(n_\mathrm{e}\) приведённые в таблице 1.

C2. Получите толщину образца \(L\).

Коэффициенты преломления \(n_o\) и \(n_e\) для кварца в диапазоне длин волн \(400 - 700\) нм