Измерение массы

В этой экспериментальной задаче измеряется масса.

Так же мы измеряем массу, используя резонансные кривые гармонического осциллятора.

Экспериментальная установка

Ниже приведен список оборудования (рис. 1). Количество элементов указано в квадратных скобках, если их два или более.

Рисунок 1: Экспериментальное оборудование.

1. Монтажная пластина:

   Примечание: блок магнитов на пластине создает не зависящее от высоты однородное радиальное магнитное поле. Гарантируется, что это верно вблизи центра магнитной пары в области \(\pm 3~ \mathrm {мм}\) по высоте.

2. Опора осциллятора

3. Гайка [2]:

   Примечание: Удалите 2 и 3 из 1 в полученной упаковке для дальнейшего использования.

4. Шайба [6]

5. Цилиндрический осциллятор

6. Резинка [6]

7. Указатель (с клейкой частью) [2]

8. Грузик [5]

9. Пинцет

10. Зеркало

11. Подставка

12. Блок питания (БП):

    С двумя режимами: DC (постоянный ток) и AC (переменный ток).

    В режиме DC он работает как источник постоянного тока. Ручка с надписью «DC Vol» регулирует ток. Величина тока получается из напряжения между «DCmon» и «DC GND» с использованием коэффициента преобразования

    \(1.00~ \mathrm{A/V}\).

    В режиме AC он работает как источник с фиксированной амплитудой.

    Поверните «AC Vol», чтобы отрегулировать напряжение.

    Переменный ток получается из напряжения между «ACmon» и «AC GND» с использованием коэффициента преобразования \(0.106~ \mathrm{A/V}\). Частота (Freq.) настраивается с помощью ручек грубой (Coarse) и точной (Fine) настройки.

13. Держатель батареек [2]

14. Батарейка [8]

15. Провод с U-образным наконечником [2]

16. Провод с зажимом типа «крокодил» [2]

17. Мультиметр:

    Поверните ручку, чтобы выбрать соответствующий режим измерения: «DCV», «ACV» и «Hz».

    Обратите внимание, что отображаемое значение напряжения переменного тока указывает среднеквадратичное значение (RMS), т. е. действующее значение.

Используемая модель

Рис. 2 представляет собой упрощенную модель экспериментальной установки.

По сути, это осциллятор (груз) на пружине с вынуждающей силой.

Рисунок 2: Модель гармонического осциллятора.

Соответствующие параметры модели:

• \(M\): масса (цилиндрического) осциллятора

• \(m\): масса грузика

• \(N\): количество грузиков

• \(g\): ускорение свободного падения

• \(k\): эффективная жесткость пружины, относящаяся к вертикальному движению

• \(z\): высота осциллятора (или смещение)

• \(z_{\mathrm{e}}\): высота осциллятора, на которой устанавливается баланс сил в отсутствии гравитационных и электромагнитных сил

• \(B(B')\): магнитное поле, приложенное к основной (контрольной) катушке

• \(L(L')\): длина токоведущего провода основной (контрольной) катушки

• \(I(I')\): ток, протекающий через основную (контрольную) катушку

• \(\alpha\): положительный коэффициент силы сопротивления

Уравнение движения имеет вид

\[(M+Nm) \frac{{\mathrm d}^2z}{{\mathrm d}t^2} = \ -(M+Nm)g \ -k(z-z_{\mathrm e}) \ +BLI\ +B'L'I' \ - \alpha\frac{{\mathrm d}z}{{\mathrm d}t}.\]

Сборка осциллятора

1. Снимите опору осциллятора с монтажной пластины.

   Оберните четыре резинки вокруг неё в виде сетки (см. рис. 3(a)).

2. Вставьте цилиндрический осциллятор со стороны шкалы в квадратное отверстие между перекрещенными резинками.

   Разместите выводы проводов не с той стороны цилиндра, где находится шкала. (рис. 3(b)).

3. Осциллятор предназначен для подвешивания на опоре с помощью четырех резинок и восьми маленьких крючков (обведены красным на рис. 3(c)).

   При правильной сборке одна петля резинки образует усеченный ромб с двумя крючками выше и ниже уровня поддержки на виде сбоку.

   Примечание: В этом эксперименте мы можем предположить, что эффективная сила, создаваемая резинками, подчиняется закону Гука.

4. Прикрепите опору осциллятора к монтажной пластине двумя гайками.

   Шкала должна стоять вертикально сверху, а не со стороны крепежных стоек (рис. 3(d)).

5. Поставьте осциллятор вертикально. Его ось должна быть выровнена по вертикали и совмещена с осью магнитного блока.

6. Основная катушка в состоянии покоя должна располагаться посередине двух магнитов. Это можно проверить измерив расстояние между верхней поверхностью нижнего магнита и нижней поверхностью осциллятора от 3 до 5 мм (рис. 3(e)). Красная стрелка).

   Если оно маленькое, поместите шайбы между стойкой монтажной пластины и опорой (рис. 3(f), красные стрелки).

   Если оно большое, поверните стойку магнита, чтобы снять ее, и добавьте шайбу под стойку (рис. 3(f), желтая стрелка).

7. Обнажите липкую поверхность двустороннего скотча на указателе (рис. 4(a)).

   Приклейте указатель к маленькому выступу на осцилляторе, чтобы измерять высоту (рис. 4(b)).

8. Установите зеркало на подставку (рис. 4(c)).

   Обеспечьте четкую видимость указателя сверху через зеркало (рис. 4(d), красный кружок).

Рисунок 3: Сборка осциллятора.

Рисунок 4: Установка указателя и зеркала.

Подключение проводов

1. Найдите и осторожно потяните соответствующую пару проводов, ведущих к основной (M) и контрольной (C) катушкам (рис. 3(c)) из внутренности осциллятора (рис. 3(b)). Проверьте, зачищена ли изоляция со свободных концов.

2. Ослабьте гайки на зажимных стойках M+ и M-, чтобы получились зазоры.

   Используйте нижние зазоры для проводов от катушки (рис. 5(a), (b)).

   Проверка полярности будет ниже.

3. Таким же образом соедините клеммы с маркировкой C+ и C-. (Допускается любая полярность.)

4. Поместите батарейки в держатели батареек и соедините их с БП (CN1, CN2) (рис. 5(c)).

5. Соедините клеммы M+ и M- с выходами постоянного тока БП (DC+ и DC-) с помощью проводов с U-образными клеммами.

6. Включите режим DC и включите БП.

7. Вращайте ручку «DC Vol.» для регулирования тока.

   Посмотрите, смещается ли осциллятор вверх на \(2\:\mathrm{мм}\) или больше.

   Если вниз - поменяйте полярность и повторите заново.

Предостережение: Горячие детали. Остерегайтесь катушек и магнитов. Уменьшите величину постоянного тока до минимума в конце каждого шага.

Рис. 5: (a), (b) Подсоединенные клеммы, (c) Вся установка, включая блок питания и аккумуляторы, подключена.

Проверка колебаний

1. Подсоедините клеммы M+ и M- к выходу переменного тока (AC+ и AC-) с помощью проводов с U-образными клеммами.

2. Выберите режим AC и включите БП.

3. Поверните ручку с надписью «AC Vol.» по часовой стрелке, начиная с минимума до четверти оборота.

   Настройте частоту с помощью ручки управления «Coarse», чтобы начать колебание.

4. Отрегулируйте выходное напряжение переменного тока и частоту так, чтобы амплитуда колебаний была приблизительно \(A=3\:\mathrm{мм}\) (Рис.6).

   Если колебания нестабильны, отрегулируйте их настройкой генератора.

5. Отсоедините M+ и M- и подключите клеммы C+ и C- к выходу переменного тока.

6. Включите блок питания и снова проверьте колебания.

Рисунок 6: Колебания, наблюдаемые через зеркало.

Часть A. Закон Гука и электромагнитные силы (2.4 балла)

A1. Схематично нарисуйте в бланке ответов силовые линии магнитного поля, создаваемого двумя одинаковыми дисковыми магнитами с северными полюсами, обращенными друг к другу.

A2. Подсоедините контакты M+ и M- к выходу постоянного тока.

Соедините мультиметр с выводами для считывания показаний в режиме DC при помощи проводов с разъемами типа «крокодил» (рис. 7).

Считайте высоту осциллятора \(z\) при нулевой силе тока без грузиков, т.е., \(N=0\).

Запишите результат в Таблицу A.2.

Поместите груз (\(N=1\)) на круглую полку внутри цилиндра, и запишите высоту \(z\) при которой осциллятор находится в покое.

Чему равно значение силы тока \(I\), протекающего через основную катушку, чтобы вернуть осциллятор назад, в положение без грузиков?

Повторите измерения увеличивая \(N\) до \(5\) и заполните Таблицу A.2.

Рис. 7: Подключенные измерительные провода мультиметра. Осциллятор с грузом справа.

A3. Постройте график зависимости высоты \(z\) от количества грузиков \(N\).

По графику определите коэффициент наклона \(a = \frac{\Delta z}{\Delta N}\) и оцените его погрешность.

A4. Постройте график зависимости силы тока \(I\) от количества грузиков \(N\).

Из графика получите значение \(b\), определяемое как \(b = \frac{I}{N}\) и оцените погрешность.

Часть B. ЭДС индукции (3.0 балла)

B1. Предположим, что переменный ток определенной частоты \(f\) подается на контрольную катушку без груза.

Высота осциллятора меняется со временем по синусоидальному закону

\[z-z_0 = A \sin (2\pi f t)\]где \(z_0\) – высота положения равновесия, \(A\) – амплитуда колебаний. Запишите выражение для амплитуды ЭДС индукции \(V\) в основной катушке.

B2. Подсоедините контакты C+ и C- к выходу переменного тока.

Подсоедините мультиметр к выводам «Fmon» и «AC GND», чтобы считывать частоту.

Отрегулируйте как частоту переменного тока, так и выходное напряжение, чтобы получить устойчивые колебания соответствующей амплитуды.

Измерьте частоту \(f_{\mathrm B}\) и запишите ее в лист ответов.

Соедините мультиметр с выводами M+ и M-.

При фиксированной частоте изменяйте выходное напряжение. Снимите зависимость амплитуды колебаний \(A\) от переменного напряжения \(V' (V'=V/\sqrt{2})\), индуцированного в основной катушке.

Заполните Таблицу B.2 соответствующим образом.

B3. Постройте график зависимости напряжения \(V'\) от амплитуды \(A\).

По графику получите значение \(c\) определённое как \(c = \frac{V'}{A}\) и оцените погрешность.

B4. Вычислите величину \(BL\) и её погрешность используя результаты пункта B.3.

B5. Используя результаты пунктов A.3, A.4, и B.4, вычислите \(m\) и \(k\) и оцените погрешности.

Если потребуется, используйте значение ускорения свободного падения \(g=\mathrm{ 9.80~ \text{м}/\text{с}^2}\).

Часть C. Резонансная частота, зависящая от массы (2.3 балла)

Для следующих экспериментов используйте основную катушку для возбуждения осциллятора. Измените подключение соответствующим образом.

C1. Запишите выражение для резонансной частоты \(f\) осциллятора с \(N\) грузиками.

Используйте постоянный коэффициент жесткости \(k'\), который при движении отличается от \(k\).

C2. Запитайте осциллятор, подключив источник переменного тока к основной катушке.

Измерьте резонансную частоту \(f\), для разных значений \(N=0\) до \(5\), и запишите значения в Таблицу C.2. Избегайте подпрыгивания грузиков.

C3. Используя результаты пункта C.2, постройте график, из которого можно будет получить величины \(\frac{M}{k'}\) и \(\frac{m}{k'}\).

Запишите полученные значения в лист ответов.

Если вам необходимо рассчитать какие-либо дополнительные величины, используйте пустые ячейки Таблицы C.2.

C4. Чему равна величина \(\frac{M}{m}\)?

Вычислите \(M\) и \(k'\) используя результаты пункта B.5.

Часть D. Резонансные характеристики (2.3 балла)

Если на осциллятор без грузиков действует периодическая сила амплитудой \(F_{\mathrm {AC}}\) и частотой \(f\), то амплитуда осцилляций \(A\) хорошо описывается резонансной кривой:

\[A(f) = \frac{F_{\mathrm {AC}}}{8\pi ^2 Mf_0} \cdot \frac{1}{\sqrt{(f-f_0)^2+(\Delta f)^2}}.\]

Здесь \(\Delta f = \frac{\alpha}{4 \pi M}\). Данное выражение выполнятся для частот, для которых \(|f-f_0| \ll f_0\) .

В этой части будет использована резонансная кривая для получения массы осциллятора \(M\). Будем считать, что выражение (3) всегда применимо.

D1. Запитайте осциллятор, подключая источник переменного тока к основной катушке. Подстройте частоту и выходное напряжение для получения резонанса приемлемой амплитуды.

Измерьте и запишите напряжение \(V'_{\mathrm {AC}}\) между выводами “ACmon” и "AC GND" в лист ответов.

Используя результаты пункта B.4 и коэффициент \(0.106~ \mathrm{A/V}\), вычислите амплитуду \(F_{\mathrm {AC}}\) периодической электромагнитной силы, действующюю на осциллятор.

D2. Запишите в Таблицу D.2 амплитуду \(A\) в зависимости от частоты осциллятора \(f\). Амплитуда вынуждающей силы \(F_{\mathrm {AC}}\) должна поддерживаться постоянной в ходе всего эксперимента.

Постройте график зависимости амплитуды \(A\) от частоты \(f\).

D3. Используя результаты D.1 и D.2, получите \(M\).