Оценка тока через большое сопротивление

Основная идея решения этой задачи заключается в том, что центральное сопротивление много больше остальных сопротивлений, поэтому ток через него должен быть много меньше токов, текущих через остальные участки. Поэтому в первом приближении будем считать, что ток через сопротивление \(1000R\) равен нулю. Тогда сопротивление \(1000R\) можно выбросить, и наша цепь становится такой, как показано на рисунке. Далее, по закону Ома для участка цепи находим разность потенциалов между точками \(A\) и \(B\) \(\varphi_A-\varphi_B\) (к которым было подключено сопротивление \(1000R\)):

\[\varphi_A-\varphi_B = (\varphi_A-\varphi_D)-(\varphi_B-\varphi_D) = \dfrac{U}{4R}\cdot3R - \dfrac{U}{6R}\cdot4R = \dfrac{1}{12}U,\] где \(\varphi_D\) — потенциал точки \(D\) (см. рисунок), а затем и ток через сопротивление \(1000R\) \[I_0 = \dfrac{\varphi_A-\varphi_B}{1000R} = \dfrac{U}{1{,}2\cdot10^4R} = 0{,}83\cdot10^{-4}\dfrac{U}{R} = 1{,}8\cdot10^{-3}\text{ А} \tag{*}\] Оценить ошибку, которую мы сделали при такой оценке тока через сопротивление \(1000R\) можно так. При нашей оценке ток в верхнем участке цепи равен \[I = \dfrac{U}{6R}, \tag{**}\] а если бы мы вычисляли его точно (используя, например, законы Кирхгофа), то мы получили бы значение, отличающееся от (**) на величину тока через сопротивление \(1000R\) (*). Поэтому относительная ошибка в величине тока в верхнем участке цепи (а, следовательно, и для разности потенциалов \(\varphi_B-\varphi_D\)) составляет \[\dfrac{\Delta I}{I} \sim \dfrac{I_0}{I} \sim \dfrac{\Delta(\varphi_B-\varphi_D)}{\varphi_B-\varphi_D} \sim 5\cdot10^{-4}.\] Аналогичную ошибку мы сделали бы при вычислении тока через нижний участок цепи и разности потенциалов \(\varphi_A-\varphi_D\). Поэтому относительная ошибка нашей оценки по порядку величины равна \[\dfrac{\Delta I_0}{I_0} = 10^{-3}.\] Т.е. составляет одну десятую процента. Абсолютная ошибка — \(\Delta I_0 = 1{,}8\cdot10^{-6}\) А.