Диполь в шаре

Напряжённость внутри однородно заряженного шара линейна по расстоянию от центра (теорема Гаусса). Значит, на диполь и на отдельный шарик действуют линейные по смещению или постоянные силы. Сравните силы, действующие на заряды разного знака.

Напряжённость внутри однородно заряженного шара по теореме Гаусса \[E(x) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\,x,\] где \(x\) — расстояние до центра шара. На диполь действует равнодействующая двух кулоновских сил. Чтобы втянуть диполь в шар, ближний к центру заряд должен быть положительным: поле внутри слабее у центра, и нужно добиться превосходства силы, втягивающей диполь, над силой отталкивания. Тогда сила, действующая на диполь, \[F_д = F_+ - F_- = q\bigl(E(x+l) - E(x)\bigr) = \frac{ql\rho}{3\varepsilon_0} = \text{const},\] где \(q\) — модуль заряда каждого шарика. Диполь разгоняется с постоянным ускорением \(a_д = \dfrac{ql\rho}{6m\varepsilon_0}\) (масса диполя \(2m\)), где \(m\) — масса одного шарика. Из условия \(d = a_д t_д^2/2\) получаем \[t_д = \sqrt{\frac{3m\varepsilon_0}{q\rho}}\,\sqrt{\frac{4d}{l}}.\]

Рассмотрим движение одного шарика. Если его заряд совпадал бы по знаку с зарядом шара, его не втянуло бы в канал; значит, речь идёт о шарике с отрицательным зарядом. Второй закон Ньютона: \(m\ddot x = -\dfrac{q\rho}{3\varepsilon_0}\,x\) — гармонические колебания с периодом \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{3m\varepsilon_0}{q\rho}}\). Противоположный конец канала шарик проходит за половину периода: \[t_ш = \frac{T}{2} = \pi\sqrt{\frac{3m\varepsilon_0}{q\rho}}.\] Отсюда \(\dfrac{t_д}{t_ш} = \dfrac{1}{\pi}\sqrt{\dfrac{4d}{l}}\), и \[l = d\left(\frac{2\,t_ш}{\pi\,t_д}\right)^2.\]