Магнитная пружина

Покажите, что на свободных участках провод имеет форму дуг окружностей с постоянным натяжением. Найдите длину участка, прижатого к грани куба, и силу Ампера как функцию смещения куба. Сила окажется линейной по смещению, как у пружины.

Рассмотрим равновесие малого участка провода с радиусом кривизны \(R\) и угловым размером \(\Delta\alpha\), не контактирующего со стенкой или гранью куба. Сила Ампера \(F_A = IB\,\Delta l = IBR\,\Delta\alpha\). Условия равновесия в проекциях на касательную и нормаль дают \[T_1\cos\frac{\Delta\alpha}{2} = T_2\cos\frac{\Delta\alpha}{2}, \qquad T_1\sin\frac{\Delta\alpha}{2} + T_2\sin\frac{\Delta\alpha}{2} = IBR\,\Delta\alpha.\]

Из первого уравнения натяжение постоянно: \(T_1 = T_2 \equiv T\). Из второго следует, что радиус кривизны постоянен на свободных участках: \(R = T/(IB) = \text{const}\). Значит, эти участки — дуги окружностей. Угол поворота провода на любом участке — малая величина порядка \(\Delta l\), поэтому в состоянии равновесия провод не имеет изломов. Таким образом, в каждый момент после отпускания куба провод состоит из двух одинаковых полуокружностей диаметром \(x\) и двух линейных участков, прижатых к стенке и грани куба. Длина линейного участка, соприкасающегося с гранью куба, \[l(x) = \frac{L - \pi x}{2}.\] Куб разгоняется за счёт силы Ампера, действующей на этот участок: \[F_A = IB\,l(x) = \frac{IB\,(L - \pi x)}{2}.\] Разгон начинается при \(x = x_0\) и заканчивается при \(x = L/\pi\), когда провод перестаёт касаться грани куба.

Сила \(F_A\) в точности совпадает по поведению с силой упругости пружины длиной \(L/\pi\) с коэффициентом жёсткости \(k = \pi IB/2\). Поэтому разгон соответствует четверти периода гармонических колебаний от начальной деформации \(y_0 = \dfrac{L}{\pi} - x_0\) до положения равновесия. Максимальная скорость \[\upsilon_m = \omega y_0 = y_0\sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{\pi IB}{2m}\left(\frac{L}{\pi} - x_0\right)}.\] Тот же результат получаем из закона изменения кинетической энергии: работа силы равна площади под графиком \(F(x) = IB(L - \pi x)/2\) на отрезке от \(x_0\) до \(L/\pi\):

\[\frac{m\upsilon_m^2}{2} = \frac{1}{2}F_0\left(\frac{L}{\pi} - x_0\right) = \frac{\pi IB}{4}\left(\frac{L}{\pi} - x_0\right)^2,\] где \(F_0 = F(x_0)\), откуда снова \(\upsilon_m = \sqrt{\dfrac{\pi IB}{2m}\left(\dfrac{L}{\pi} - x_0\right)}\).

Время разгона равно четверти периода колебаний: \[t_m = \frac{\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{2m}{\pi IB}} = \sqrt{\frac{\pi m}{2IB}}.\]