Прозрачный шарик

Введите угол падения \(\varphi\) и угол преломления \(\theta\) на границе шара, связанные законом Снеллиуса; треугольник \(OBC\) равнобедренный. Используйте теорему синусов для треугольников \(SBO\) и \(OCK\) и симметрию хода луча относительно центра.

Пусть \(B\) — точка падения луча на поверхность шара, \(C\) — точка выхода луча из шара, \(\varphi\) и \(\theta\) — углы падения и преломления, связанные законом Снеллиуса \(\sin\varphi = n\sin\theta\). Треугольник \(OBC\) равнобедренный, поэтому угол падения в точке \(C\) равен углу преломления \(\theta\) в точке \(B\), а угол преломления в точке \(C\) равен \(\varphi\). По теореме синусов для треугольников \(SBO\) и \(OCK\): \[\frac{SO}{\sin\varphi} = \frac{R}{\sin\alpha}, \qquad \frac{OK}{\sin\varphi} = \frac{R}{\sin\beta}.\] Отсюда \(\dfrac{SO}{OK} = \dfrac{\sin\beta}{\sin\alpha}\), и с учётом \(SO + OK = l\) \[SO = \frac{l\sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}.\]

Угол отклонения луча при каждом преломлении равен \(\gamma' = \varphi - \theta\); полный угол отклонения равен \(2\gamma'\). Из геометрии \(\angle SAK = \pi - (\alpha + \beta) = \pi - 2\gamma'\), так что \[\gamma' = \frac{\alpha + \beta}{2} \equiv \gamma.\] Тогда \(\sin\varphi = n\sin\theta\) даёт соотношение \(\sin\varphi = n\sin(\varphi - \gamma)\), откуда \[\sin\varphi = \frac{n\sin\gamma}{\sqrt{n^2 - 2n\cos\gamma + 1}}.\] Из теоремы синусов для треугольника \(SBO\): \(R = SO\,\dfrac{\sin\alpha}{\sin\varphi}\). Подставляя, получаем \[R = \frac{l\,\sin\alpha\,\sin\beta\,\sqrt{n^2 - 2n\cos\gamma + 1}}{(\sin\alpha + \sin\beta)\,n\sin\gamma}.\] Для \(n = 2\), \(\alpha = 60^\circ\), \(\beta = 30^\circ\), \(l = 10\) см: \(SO \approx 3{,}66\) см, \(R \approx 3{,}30\) см.