Падающая гантель

Для определения скорости центра масс используйте закон сохранения энергии и перпендикулярность скоростей шариков. Для угла воспользуйтесь сохранением проекции импульса верхнего шарика на ось, перпендикулярную стержню: на него во время удара действует только сила реакции стержня, направленная вдоль стержня.

Определение скорости центра масс и угловой скорости. Пусть индексы 1 и 2 обозначают нижний и верхний шарики. Из закона сохранения энергии (поверхность абсолютно упругая) \[m\upsilon_0^2 = \frac{m(\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2)}{2}, \qquad \upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 = 2\upsilon_0^2.\] Поскольку поверхность гладкая, сразу после удара скорость центра масс направлена вертикально вверх: \[\upsilon_c = \frac{\sqrt{\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2}}{2} = \frac{\upsilon_0}{\sqrt{2}}.\] Относительная скорость шариков \(\upsilon_{отн} = \sqrt{\upsilon_1^2 + \upsilon_2^2} = \upsilon_0\sqrt{2}\), поэтому \[\omega = \frac{\upsilon_{отн}}{L} = \frac{\upsilon_0\sqrt{2}}{L}.\] Тот же результат даёт теорема Кёнига: кинетическая энергия системы равна энергии движения центра масс плюс энергия вращения относительно него, \[m\upsilon_0^2 = m\upsilon_c^2 + \frac{m\omega^2L^2}{4}.\]

Определение угла \(\varphi\). До удара проекция скорости верхнего шарика на ось, перпендикулярную стержню, равна \(\upsilon_x = \upsilon_0\sin\varphi\). После удара, по закону сложения скоростей, \(\upsilon_x = \dfrac{\omega L}{2} - \upsilon_c\sin\varphi\). Из этих двух уравнений, с учётом полученных выше \(\upsilon_c\) и \(\omega\), находим \[\sin\varphi = \frac{\omega L}{2(\upsilon_0 + \upsilon_c)} = \sqrt{2} - 1 \quad\Rightarrow\quad \varphi = \arcsin\bigl(\sqrt{2} - 1\bigr) \approx 24{,}5^\circ.\] Тот же результат получается из закона сохранения момента импульса относительно точки удара нижнего шарика, а также с помощью векторной диаграммы скоростей: