Две заряженные полусферы

Сначала докажите, что сила направлена перпендикулярно основанию большой полусферы. Затем сведите задачу к силе между точечным зарядом в центре и полусферой.

Докажем, что сила взаимодействия двух концентрических полусфер с перпендикулярными основаниями направлена перпендикулярно основанию большой полусферы. Меньшая полусфера находится внутри большой сферы, и сила со стороны полной сферы на заряды внутри неё равна нулю. Значит, силы со стороны большой нижней и большой верхней полусфер на меньшую равны по величине и противоположны. Эти две системы зарядов получаются друг из друга отражением относительно основания большой полусферы, поэтому силы, наклонные к этой плоскости, не сложились бы в нуль. Отсюда сила направлена перпендикулярно основанию большой полусферы.

Искомая сила составляет ровно половину силы \(F_1\) взаимодействия большой полусферы радиуса \(2R\) с зарядом \(Q/2\) и сферы радиуса \(R\) с зарядом \(q\) (здесь \(Q\) — заряд большой сферы).

Поле равномерно заряженной сферы снаружи такое же, как поле точечного заряда в её центре. Поэтому малая сфера с зарядом \(q\) действует на полусферу так же, как точечный заряд \(q\) в центре полусферы.

Силу взаимодействия полусферы с точечным зарядом в её центре найдём суммированием проекций сил от малых площадок на ось симметрии. Со стороны площадки \(\Delta S\) сила, проекция которой на ось симметрии, \[\Delta F\cos\alpha = k\,\frac{q\,\Delta Q}{(2R)^2}\cos\alpha,\] где \(\Delta Q\) — заряд площадки, пропорциональный её площади, а \(\cos\alpha\,\Delta S\) — проекция площадки на основание полусферы.

Сумма \(\sum \cos\alpha\,\Delta S\) равна площади основания полусферы \(\pi(2R)^2\). В результате сила между полусферой с зарядом \(Q/2\) и точечным зарядом \(q\) в её центре \[F_1 = \frac{kqQ}{16R^2},\] а искомая сила \[F = \frac{F_1}{2} = \frac{kqQ}{32R^2}.\] При \(Q = 3q\) получаем \(F = \dfrac{3kq^2}{32R^2}\).