Задачи › Потенциал электрического поля

Частица в поле заряженной полусферы

  1. Частица в поле заряженной полусферы

    Физтех 2024/25, 10 кл.
    5/10

    По поверхности закреплённой диэлектрической полусферы однородно распределён заряд \(Q\). Точки \(A\), \(O\), \(C\) находятся на оси симметрии (см. рис.). Точка \(O\) удалена от всех точек полусферы на расстояние \(R\). Из точки \(A\) стартовала с нулевой начальной скоростью частица, масса которой \(m\), заряд \(q\). В точке \(O\) частица движется со скоростью \(V_O\).

    Рисунок

    1. С какой скоростью \(V\) частица движется на большом по сравнению с \(R\) расстоянии от точки \(O\)? Коэффициент пропорциональности в законе Кулона \(k\). Действие на частицу всех сил кроме кулоновских пренебрежимо мало.

    2. Найдите скорость \(V_C\), с которой частица движется в точке \(C\). Точки \(A\) и \(C\) находятся на неизвестных равных расстояниях от точки \(O\).

    Эффекты, связанные с поляризацией диэлектрика, считайте пренебрежимо малыми. Скорость частицы в любой точке траектории мала по сравнению со скоростью электромагнитных волн в вакууме.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Внутри однородно заряженной сферы поле равно нулю. Что можно сказать о поле половины такой сферы на оси симметрии? Сравните приращения кинетической энергии при переходах \(A\to O\) и \(O\to C\).

    Ответ

    1) \(V = \sqrt{V_O^2 + \dfrac{2kqQ}{mR}}\);  2) \(V_C = \sqrt2\,V_O\).

    Решение

    По закону сохранения энергии \(k\dfrac{qQ}{R} + \dfrac{m}{2}V_O^2 = \dfrac{m}{2}V^2\), откуда

    1. \(V = \sqrt{V_O^2 + \dfrac{2kqQ}{mR}}\).

    2. Поле внутри однородно заряженной сферы равно нулю, поэтому поля двух полусфер, на которые её делит плоскость большого круга, в каждой точке диаметра равны по модулю и противоположны. Это означает, что напряжённость поля полусферы одинакова в любых двух точках оси симметрии, находящихся от центра на одинаковом расстоянии \(d<R\). Отсюда \(\varphi_A - \varphi_O = \varphi_O - \varphi_C\).

    По теореме об изменении кинетической энергии равным убыли потенциала соответствуют равные приращения кинетической энергии. Поскольку \(K_A = 0\), получаем \(K_C = 2K_O\), то есть \[V_C = \sqrt2\,V_O.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх