Задачи › Кинематика твёрдого тела, мгновенный центр вращения

Треугольная пластина на гладком столе

  1. Треугольная пластина на гладком столе

    Физтех 2024/25, 10 кл.
    6/10

    Вырезанную из однородного листа металла пластину в форме равностороннего треугольника \(ABC\) (см. рис.) положили на гладкую горизонтальную плоскость и толкнули. Пластина пришла в движение. В момент \(t=0\) оказалось, что скорость \(\vec v_A\) точки \(A\) параллельна стороне \(BC\) и по величине равна \(v_A = 0{,}4~\text{м/с}\), а скорость \(\vec v_C\) вершины \(C\) направлена вдоль стороны \(CA\). Длины сторон треугольника \(a = 0{,}2~\text{м}\).

    Рисунок

    1. Найдите модуль \(v_C\) скорости вершины \(C\).

    2. За какое время \(\tau\) пластина в системе центра масс совершит три оборота?

    Пчела массой \(m = 100~\text{мг}\) прилетает и садится на пластину вблизи вершины \(B\).

    1. Найдите модуль \(R\) равнодействующей сил, приложенных к пчеле, сидящей на движущейся пластине. Масса пчелы пренебрежимо мала по сравнению с массой пластины.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Скорости точек плоского движения связаны мгновенным центром вращения: он лежит на перпендикулярах к скоростям точек \(A\) и \(C\). Найдите отношение расстояний от него до \(C\) и \(A\). Для третьего пункта вспомните, как движется центр масс.

    Ответ

    1) \(v_C = 0{,}2~\text{м/с}\);  2) \(\tau \approx 10{,}9~\text{с}\);  3) \(R \approx 3{,}46\cdot10^{-5}~\text{Н}\).

    Решение

    \(F\) — мгновенный центр вращения пластины. Скорости точек пропорциональны расстояниям до \(F\), поэтому \[\frac{v_C}{v_A} = \frac{FC}{FA} = \sin 30^\circ = 0{,}5,\] откуда \(v_C = 0{,}5\,v_A = 0{,}2~\text{м/с}\).

    Рисунок

    Расстояние \(FC = a/\sqrt3\), поэтому \(v_C = \omega\,\dfrac{a}{\sqrt3}\), то есть \(\omega = \sqrt3\,\dfrac{v_C}{a}\). Три оборота соответствуют \(\omega\tau = 3\cdot 2\pi\), откуда \[\tau = \sqrt3\cdot 2\pi\,\frac{a}{v_C} \approx 10{,}9~\text{с}.\]

    Система центра масс пластины — инерциальная. Центр масс \(O\) находится на расстоянии \(BO = a/\sqrt3\) от вершины \(B\), и сила, действующая на пчелу, равна \[R = m\omega^2\,BO = m\cdot 3\frac{v_C^2}{a^2}\cdot\frac{a}{\sqrt3} = \sqrt3\,m\,\frac{v_C^2}{a} \approx 3{,}46\cdot10^{-5}~\text{Н}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх