Две шайбы на нити и третья шайба

Удобно перейти в систему центра масс двух связанных шайб: в ней они вращаются вокруг центра масс с постоянной угловой скоростью. Условие столкновения — это совпадение положения вращающейся шайбы и покоящейся (в лабораторной системе) третьей.

Движение шайб после приобретения первой шайбой скорости \(v_0\) в дальнейшем представляет из себя суперпозицию поступательного движения центра масс и вращательного движения шайб вокруг центра масс.

Скорость центра масс: \[v_C = \frac{m_1 v_0}{m_1 + m_2} = \frac{v_0}{3}.\] Положение центра масс: \[y_C = \frac{m_1 l}{m_1 + m_2} = \frac{l}{3} = \text{const}.\] Перейдём в инерциальную систему отсчёта, связанную с центром масс двух шайб. В этой системе отсчёта связанные шайбы вращаются с угловой скоростью \(\omega = \dfrac{v_C}{y_C} = \dfrac{v_0}{l}\), а третья шайба движется со скоростью, проекция которой \(v_{3x} = -v_C\).

Определим условия столкновения одной из связанных шайб с третьей. Столкновение шайбы массы \(m_2\) с шайбой массы \(m_3\) произойдёт в том случае, если связанные шайбы совершат целое число \(k\) оборотов, а третья шайба окажется в начале координат: \[\begin{cases} \omega t = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{N}, \\ L + v_{3x} t = 0 . \end{cases}\] Решая данную систему, найдём \[L_k = -\frac{v_{3x}\, 2\pi k}{\omega} = \frac{m_1 v_0}{m_1 + m_2}\cdot\frac{2\pi k l}{v_0} = \frac{2\pi m_1 l}{m_1 + m_2}\,k = \frac{2\pi}{3}\,l k, \quad k \in \mathbb{N}.\] В данном случае столкновения как такового не происходит, потому что относительная скорость шайб 2 и 3 в момент их встречи равна нулю, следовательно, при подобном касании скорости шайб не меняются. В лабораторной системе отсчёта скорости после удара определяются выражениями: \[\begin{cases} v_1 = v_0, \\ v_2 = 0, \\ v_3 = 0 . \end{cases}\]

Столкновение шайбы 1 и 3 происходит, если шайба 1 достигает точки на оси \(Ox\) в момент, когда там оказывается шайба 3. Запишем зависимость координат шайбы 1 и 3 от времени в системе центра масс: \[\begin{cases} y_1 = y_C + (l - y_C)\cos(\omega t), \\ x_1 = (l - y_C)\sin(\omega t), \\ x_3 = L + v_{3x} t . \end{cases}\] Определим моменты времени, в которые может произойти удар, из условия \(y_1 = 0\): \[y_C + (l - y_C)\cos(\omega t) = 0, \qquad \cos(\omega t) = -\frac{y_C}{l - y_C} = -\frac{m_1}{m_2} \quad\Rightarrow\quad t = \pm\frac{1}{\omega}\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{2\pi k}{\omega}, \quad k \in \mathbb{Z};\] \[\sin(\omega t) = \pm\sqrt{1 - \frac{m_1^2}{m_2^2}} .\] Теперь определим, на каком расстоянии должна находиться шайба 3, чтобы произошёл удар: \[\pm\frac{m_2 l}{m_1 + m_2}\sqrt{1 - \frac{m_1^2}{m_2^2}} = L_k - \frac{m_1 v_0}{m_1 + m_2}\left(\pm\frac{1}{\omega}\arccos\left(-\frac{m_1}{m_2}\right) + \frac{2\pi k}{\omega}\right).\] Откуда получаем: \[\begin{cases} L^+_k = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\,l + \dfrac{l}{3}\left(\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k_1\right), \quad k_1 = 0, 1, 2, \ldots \\[2mm] L^-_k = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\,l + \dfrac{l}{3}\left(-\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k_2\right), \quad k_2 = 1, 2, 3, \ldots \end{cases}\] Комментарий: решения со знаком «плюс» соответствуют столкновениям в положительной области оси \(Ox\), со знаком «минус» — в отрицательной.

Рассматривать столкновение шайб 1 и 3 удобнее в лабораторной системе отсчёта, поскольку в ней шайба 3 покоится. В силу того, что шайбы очень маленькие, можем считать удар шайб центральным.

Удар в положительной области оси \(Ox\). Скорость шайбы 1 в лабораторной системе отсчёта найдём по теореме косинусов: \[v_1 = \sqrt{(v_0 - v_C)^2 + v_C^2 - 2 v_C (v_0 - v_C)\cos\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{3} v_0 .\]

Заметим, что значения скоростей таковы, что треугольник, составленный из векторов скоростей, является прямоугольным, т.е. вектор \(\vec v_1\) направлен вертикально вниз.

Опишем соударение шайб 1 и 3 с использованием закона сохранения импульса и закона сохранения энергии. Учитывая тот факт, что удар центральный, закон сохранения импульса запишем сразу в проекции на направление движения первой шайбы: \[\begin{cases} m_1 v_1 = -m_1 v'_1 + m_3 v'_3, \\ \dfrac{m_1 v_1^2}{2} = \dfrac{m_1 v'^2_1}{2} + \dfrac{m_3 v'^2_3}{2}. \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} v'_1 = v_1\dfrac{m_3 - m_1}{m_1 + m_3} = \dfrac{\sqrt{3}}{9} v_0, \\[2mm] v'_3 = v_1\dfrac{2 m_1}{m_1 + m_3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} v_0 . \end{cases}\] Направление скорости шайбы 1 меняется на противоположное, нить перестаёт быть натянутой, значит скорость 2-й шайбы больше не изменяется до тех пор, пока нить снова не натянется или не произойдёт столкновение шайб 1 и 2.

Скорость шайбы 2 в лабораторной системе отсчёта: \[v_{2л} = \sqrt{v_C^2 + v_C^2 + 2 v_C^2\cos\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{3} v_0 .\]

Удар в отрицательной области оси \(Ox\). Скорость шайбы 1 в лабораторной системе отсчёта найдём по теореме косинусов: \[v_1 = \sqrt{(v_0 - v_C)^2 + v_C^2 - 2 v_C (v_0 - v_C)\cos\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{3} v_0 .\]

Заметим, что значения скоростей таковы, что треугольник, составленный из векторов скоростей, является прямоугольным, т.е. вектор \(\vec v_1\) направлен вертикально вниз. В этом случае ситуация «симметричная»: вектор скорости \(\vec v_1\) направлен вертикально вверх, выражения для законов сохранения энергии и импульса остаются такими же, модули скоростей после столкновения такие же, как и при ударе в положительной области оси \(Ox\): \[\begin{cases} v'_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{9} v_0, \\[2mm] v'_3 = \dfrac{2\sqrt{3}}{9} v_0 . \end{cases}\] Однако в подобном случае расчёт конечных скоростей шайб 1 и 2 не является законченным:

Видим, что при дальнейшем движении нить должна была бы растянуться, что невозможно. Поскольку силы натяжения, действующие на шайбы, одинаковы по модулю и противоположны по направлению, выполняется закон сохранения импульса в проекции на ось, направленную вдоль нити. Компоненты импульса шайб, направленные перпендикулярно нити, не изменяются, так как нет сил, действующих на шайбы в направлении, перпендикулярном нити. Полная энергия системы также не изменяется: \[\begin{cases} m_2 v_C\sin\alpha - m_1 v'_1\cos\alpha = m_1 v_{1\parallel} + m_2 v_{2\parallel}, \\ \dfrac{m_1 (v'_1\cos\alpha)^2}{2} + \dfrac{m_2 (v_C\sin\alpha)^2}{2} = \dfrac{m_1 v_{1\parallel}^2}{2} + \dfrac{m_2 v_{2\parallel}^2}{2}. \end{cases} \quad\rightarrow\quad \begin{cases} v_{1\parallel} = \dfrac{13\sqrt{3}\,v_0}{54}, \\[2mm] v_{2\parallel} = \dfrac{\sqrt{3}\,v_0}{54} . \end{cases}\] Заметим на данном этапе, что после подобного взаимодействия нить перестаёт быть натянутой, следовательно, скорости шайб 1 и 2 останутся постоянными до тех пор, пока нить снова не натянется.

С учётом того, что \(v_{1\perp} = v'_1 \sin\alpha = \dfrac{v_0}{6}\), \(v_{2\perp} = v_C + v_C\cos\alpha = \dfrac{v_0}{2}\), получаем окончательно: \[\begin{cases} v''_1 = \sqrt{v_{1\parallel}^2 + v_{1\perp}^2} = \dfrac{7\sqrt{3}\,v_0}{27}, \\[2mm] v''_2 = \sqrt{v_{2\parallel}^2 + v_{2\perp}^2} = \dfrac{\sqrt{183}\,v_0}{27} . \end{cases}\]