Угол отклонения луча в прозрачном шаре

Ход луча в шаре: два преломления на поверхности. Угол отклонения выразите через углы падения и преломления, а для фокуса воспользуйтесь тем, что \(\triangle OFC\) равнобедренный.

Построим ход произвольного луча:

В соответствии с законом преломления \[\sin\alpha = n\sin\beta .\] Из геометрических соображений: \[\sin\alpha = \frac{x}{R} .\] Заметим, что угол \(\theta\) является внешним углом треугольника \(\triangle ABC\), следовательно, он равен сумме двух несмежных с ним углов: \[\theta(x) = \angle CAB + \angle CBA = 2(\alpha - \beta) = 2\left(\arcsin\frac{x}{R} - \arcsin\frac{x}{nR}\right).\] Рассмотрим внимательно имеющиеся у нас отрывки графиков. На одном из них мы видим верхнюю правую часть графика, а также значение максимального угла отклонения: \[\theta_{\max} \approx 100^\circ .\] Максимальный угол отклонения наблюдается в случае, если \(x \to R\): \[\theta_{\max} = \theta(x \to R) = 2\left(1 - \arcsin\frac{1}{n}\right).\] Определим из этого соотношения показатель преломления вещества прозрачного шара: \[n = \frac{1}{\sin\left(90^\circ - \dfrac{\theta_{\max}}{2}\right)} \approx 1{,}56 .\] Теперь рассмотрим часть графика, соответствующую малым \(x \ll R\). Видим, что эта часть графика практически линейна, то есть зависимость \(\theta(x)\) имеет вид: \[\theta(x) = k x .\] Угловой коэффициент найдём из графика: \[k = 4{,}0\,\frac{^\circ}{\text{см}} = 0{,}070\,\frac{\text{рад}}{\text{см}} .\] При малых \(x\) угол \(\alpha\) [рад] \(\ll 1\), следовательно, можно воспользоваться примечанием: \[\sin\alpha \approx \alpha \approx \frac{x}{R}.\] В таком случае закон преломления запишется в виде \(\alpha = n\beta\), при этом угол отклонения луча: \[\theta(x) = 2(\alpha - \beta) = \frac{2x}{R}\left(1 - \frac{1}{n}\right) \quad\Rightarrow\quad k = \frac{2}{R}\left(1 - \frac{1}{n}\right).\] Отсюда радиус шара: \[R = \frac{2}{k}\left(1 - \frac{1}{n}\right) = 10\text{ см}.\] Для определения расстояния, на котором фокусируются лучи, отметим, что треугольник \(\triangle OFC\) равнобедренный.

В самом деле, \(CO\) является общей высотой равнобедренных треугольников \(\triangle ACB\) и \(\triangle AOB\), а следовательно, и биссектрисой углов при вершинах этих треугольников. Отсюда \[\angle OCF = \frac{1}{2}\left(\pi - 2(\alpha - \beta)\right) = \frac{\pi}{2} - \alpha + \beta,\] \[\angle COF = \pi - \angle CFO - \angle OCF = \pi - \theta - \left(\frac{\pi}{2} - \alpha + \beta\right) = \frac{\pi}{2} - \alpha + \beta .\] Высота \(\triangle OFC\), опущенная из вершины \(C\), равна \(x\), а боковые стороны равны \(CF = OF = l\). Площадь этого треугольника: \[S = \frac{1}{2}\, l^2\sin\theta = \frac{1}{2}\, x l \quad\Rightarrow\quad l = \frac{x}{\sin\theta} \approx \frac{x}{\theta} .\] Подставляя выражение для \(\theta\), получаем: \[l = \frac{x}{\dfrac{2x}{R}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)} = \frac{R n}{2(n-1)} = 14\text{ см}.\] Отдельно стоит отметить, что полученное выражение справедливо только для случаев \(n \leq 2\) (подумайте, почему?).

Альтернативный способ найти расстояние, на котором фокусируются лучи. Рассмотрим \(\triangle OBF\): \(\angle OBF = \pi - \alpha\), \(\angle BFO = \theta\), \(OB = R\), \(OF = l\). По теореме синусов: \[\frac{R}{\sin\theta} = \frac{l}{\sin(\pi - \alpha)} .\] Подставим выражение для угла \(\theta\), воспользуемся формулой приведения (\(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\)) и учтём, что углы малые и \(\alpha = n\beta\): \[\frac{R}{2(n\beta - \beta)} = \frac{l}{n\beta} \quad\Rightarrow\quad l = \frac{R n}{2(n-1)} .\]

Альтернативный способ № 2 найти расстояние, на котором фокусируются лучи. Воспользуемся формулой «шлифовщика» или законом преломления на сферической поверхности. Параллельный пучок лучей соответствует бесконечно удалённому источнику. Преломление на первой сферической поверхности: \[\frac{1}{a_1} + \frac{n}{b_1} = \frac{n-1}{R}, \quad a_1 \to \infty \quad\Rightarrow\quad b_1 = \frac{n R}{n-1}.\] Вторая поверхность находится на расстоянии \(2R\) от первой, поэтому \(a_2 = -(b_1 - 2R)\). Знак «минус» соответствует сходящемуся пучку световых лучей, падающих на вторую поверхность. Второе преломление: \[\frac{n}{a_2} + \frac{1}{b_2} = \frac{1 - n}{-R} \quad\Rightarrow\quad b_2 = \frac{R(2 - n)}{2(n-1)} .\] Искомое расстояние: \[l = b_2 + R = \frac{R(2 - n)}{2(n-1)} + R = \frac{R n}{2(n-1)} = 14\text{ см}.\]