Цикл на (p, n)-диаграмме

КПД максимален, когда изобарный участок 3–4 уходит в бесконечность по давлению. Запишите теплоты на всех участках через отношение объёмов и найдите максимум КПД по этому отношению.

Введём обозначения: \[k = \frac{V_{\max}}{V_{\min}}, \qquad s = \frac{p_{34}}{p_1} .\] Процесс 1–2 адиабатический, уравнение этого процесса в координатах \((p;n)\) записывается в виде \(p = \alpha n^\gamma\); так как \(\dfrac{n_2}{n_1} = k\), то \[\frac{p_2}{p_1} = k^\gamma .\] Рассчитаем КПД данного циклического процесса с использованием введённых обозначений. Отметим, что теплота подводилась на участках 2–3 — изохорный процесс и 3–4 — изобарный процесс: \[Q_{23} = \Delta U_{23} = \frac{3}{2}\left(s p_1 - k^\gamma p_1\right) V_{\min}, \qquad Q_{34} = A_{34} + \Delta U_{34} = \frac{5}{2}\, s p_1 (k - 1) V_{\min} .\] Количество отведённой теплоты определим из участка 4–1 — изохорный процесс: \[|Q_{41}| = \frac{3}{2}\left(s p_1 - p_1\right) k V_{\min} .\] Отсюда КПД циклического процесса: \[\eta = 1 - \frac{|Q_{41}|}{Q_{23} + Q_{34}} = 1 - \frac{\frac{3}{2}(s-1)k}{\frac{3}{2}(s - k^\gamma) + \frac{5}{2}\bigl(s(k-1)\bigr)} = 1 - \frac{3(s-1)k}{3(s - k^\gamma) + 5\bigl(s(k-1)\bigr)} .\] Видим, что максимальный КПД реализуется при \(s \to \infty\): \[\eta_{\max} = 1 - \frac{3k}{3 + 5(k-1)} .\] Отсюда находим, что отношение максимального к минимальному объёму: \[k = 3 .\]