Электрогенератор с вращающимися пластинами

Разбейте оборот на четыре участка по положению диэлектрика и рассмотрите, когда конденсатор подключён к источнику, а когда отключён. Заряд на конденсаторе распределяется по закону сохранения заряда и условию равенства потенциалов.

1. Определим ёмкость \(C_0\) конденсатора, состоящего из двух пластин, закреплённых на валу: \[C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{\varepsilon_0 \alpha R^2}{2d} .\] При первом контакте с источником практически мгновенно заряд пластин становится равным: \[q_0 = C_0 U .\] В момент, когда диэлектрик заполняет всё пространство между пластинами, ёмкость становится равной: \[C' = \varepsilon C_0 .\] Заряд, накапливаемый пластинами за время контакта с источником, определяется выражением: \[q'_0 = C' U = \varepsilon C_0 U .\] Важно заметить, что диэлектрик остаётся неподвижен, то есть при прохождении следующей трети круга ёмкость конденсатора уменьшится до исходного значения \(C_0\), но при отключённом источнике изменения заряда пластин не произойдёт.

При первом контакте с незаряженным конденсатором заряд перераспределяется в соответствии с законом сохранения электрического заряда и условием равенства потенциалов пластин: \[\begin{cases} q'_0 = q + q_1, \\ \dfrac{q}{C_0} = \dfrac{q_1}{C} . \end{cases} \quad\Rightarrow\quad q_1 = \frac{C q'_0}{C + C_0} = \frac{\varepsilon C C_0 U}{C + C_0} = 0{,}17\text{ мкКл}.\]

2. Процесс зарядки конденсатора \(C\) заканчивается тогда, когда напряжение между его обкладками становится равным напряжению между пластинами сразу после покидания пластинами диэлектрика: \[U_{\max} = \frac{q_0}{C_0} = \varepsilon U .\] Следовательно, максимальный заряд, накопленный на конденсаторе, равен: \[q_{\max} = C U_{\max} = \varepsilon C U = 1{,}4\text{ Кл}.\]

3. Для того чтобы поддерживать угловую скорость вращения вала и пластин постоянной, двигатель работает с некоторой мощностью. Помимо этого источник напряжения также совершает работу по переносу заряда. Уравнение энергетического баланса в таком случае выглядит следующим образом: \[P\,dt + U\,dq = dW_c .\] Разобьём один полный оборот на несколько этапов, чтобы понять, в какой момент мощность двигателя максимальна.

Этап 1. Первый контакт пластин и источника напряжения при \(t = 0\). Так как сопротивления элементов пренебрежимо малы, то зарядка пластин происходит практически мгновенно. Работа, совершённая источником в этот момент, равна \(A_{\text{ист}} = q_0 U\), энергия, запасённая в пластинах, составляет \(W_{C_0} = \dfrac{q_0 U}{2}\). Важно отметить, что половина работы источника в таком случае всё равно выделяется в виде теплоты на пусть и малом, но всё же существующем сопротивлении проводов. Также в момент подключения пластин генератора к щёткам мог образоваться газоразрядный канал — искра, на которую также расходуется энергия, так что энергетический баланс всё равно будет соблюдён.

Этап 2. Первая треть полного оборота, диэлектрик частично заполняет конденсатор, \(t \in \left(0;\, \tfrac{1}{3}T\right)\). Ёмкость конденсатора возрастает при подключённом источнике напряжения, т.е. напряжение на пластинах поддерживается постоянным, заряд обкладок растёт: \[C(t) = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon \omega t R^2}{2d} + \frac{\varepsilon_0(\alpha - \omega t)R^2}{2d}.\] За малый промежуток времени ёмкость возрастает на величину \[dC = \frac{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)\omega R^2}{2d}\,dt .\] Заряд, прошедший через источник за это время: \(dq = U\,dC\).

Энергетический баланс на данном этапе: \[P_{1/3}(t)\,dt + U^2\,dC = \frac{U^2}{2}\,dC .\] Отсюда мощность двигателя: \[P_{1/3} = -\frac{U^2}{2}\frac{dC}{dt} = -\frac{U^2\varepsilon_0(\varepsilon - 1)\omega R^2}{4d} = -4{,}6\text{ мкВт}.\] Видим, что мощность двигателя постоянна и отрицательна, двигателю приходится «притормаживать» пластины для поддержания равномерного вращения.

Этап 3. Контакт с источником потерян, диэлектрик постепенно покидает пространство между пластинами, \(t \in \left[\tfrac{1}{3}T;\, \tfrac{2}{3}T\right)\). На данном этапе ёмкость конденсатора уменьшается при отключённом источнике напряжения, работа двигателя расходуется на изменение энергии конденсатора. Для удобства введём переменную \(\tau = t - \dfrac{T}{3}\), являющуюся временем, отсчитываемым от начала третьего этапа: \[C(\tau) = \frac{\varepsilon_0\,\omega\tau R^2}{2d} + \frac{\varepsilon_0\varepsilon(\alpha - \omega\tau)R^2}{2d}.\] Изменение ёмкости за малый промежуток времени \(d\tau\): \[dC = -\frac{\varepsilon_0(\varepsilon - 1)\omega R^2}{2d}\,d\tau .\] Энергетический баланс на данном этапе: \[P(\tau)\,d\tau = dW_C, \qquad P(\tau) = \frac{d}{d\tau}\left(\frac{q^2}{2C}\right) = -\frac{(\varepsilon C_0 U)^2}{2C^2}\frac{dC}{d\tau} = \frac{\varepsilon^2\alpha^2 U^2\varepsilon_0(\varepsilon - 1)\omega R^2}{4d}\cdot \frac{1}{(\varepsilon\alpha - (\varepsilon - 1)\omega\tau)^2} .\] Очевидно, что мощность двигателя должна быть максимальна в момент \(\tau = \dfrac{T}{3}\), то есть в самом конце этапа 3: \[P_{\max} = \frac{U^2\varepsilon_0\varepsilon^2(\varepsilon - 1)\omega R^2}{4d} = \varepsilon^2\left|P_{1/3}\right| = 0{,}20\text{ мВт}.\]

Этап 4. \(t \in \left[\tfrac{2}{3}T;\, T\right]\). Весь оставшийся промежуток времени мощность для поддержания вращения не нужна.