Заряженная шайба на жгуте: зона застоя

Сравните силы, действующие на шайбу, с максимально возможной силой трения покоя. Нарисуйте векторную диаграмму и найдите, при каком угле она замыкается.

1) В отсутствие силы тяжести и силы трения равновесное расстояние \(r_0\) между двумя зарядами определится из условия равенства модулей силы упругости \(F_{\text{упр}}\) жгута и силы кулоновского отталкивания \(F_K\) зарядов: \[\frac{k q Q}{r_0^2} = \gamma r_0 .\]

Поскольку величина силы тяжести мала по сравнению с величинами \(F_{\text{упр}}\) и \(F_K\), то она смещает заряд \(q\) на расстояние \(\Delta r = r - r_0\), при этом \(|\Delta r| \ll r_0\). Определим, как изменяются силы \(F_{\text{упр}}\) и \(F_K\) при таком смещении: \[F_K(\Delta r) = \frac{k q Q}{(r_0 + \Delta r)^2} = \frac{k q Q}{r_0^2} \left(1 + \frac{\Delta r}{r_0}\right)^{-2} \approx \frac{k q Q}{r_0^2} \left(1 - 2\frac{\Delta r}{r_0}\right),\] \[F_{\text{упр}}(\Delta r) = \gamma (r_0 + \Delta r) .\] В таком случае проекция равнодействующей этих сил на радиальное направление равна \[F_r(\Delta r) = F_K(\Delta r) - F_{\text{упр}}(\Delta r) = \frac{k q Q}{r_0^2}\left(1 - 2\frac{\Delta r}{r_0}\right) - \gamma(r_0 + \Delta r) = -3\gamma\,\Delta r .\]

2) Рассмотрим проекции сил, приложенных к заряду \(q\), покоящемуся на наклонной плоскости, на плоскость \(xOy\): 1. \(mg\sin\alpha\) — проекция силы тяжести; 2. \(F_r(\Delta r)\) — равнодействующая \(F_{\text{упр}}\) и \(F_K\); 3. \(F_{\text{тр}} \leq \mu m g\cos\alpha\) — сила трения покоя.

Граница зоны застоя, очевидно, определяется теми точками на плоскости \(xOy\), в которых сила трения покоя достигает максимально возможного значения \(F_{\text{тр max}} = \mu m g\cos\alpha\).

Изобразим векторную диаграмму сил, иллюстрирующую равновесие заряда. За основу векторной диаграммы возьмём \(mg\sin\alpha\) — постоянный по величине и направлению вектор. Окружность радиуса \(\mu m g\cos\alpha < mg\sin\alpha\) с центром в конце вектора \(mg\sin\alpha\) — это множество точек, в которых может размещаться конец вектора, соответствующего силе трения покоя. Вектор, дополняющий диаграмму до треугольника, — это \(F_r(\Delta r)\).

Направление вектора \(F_r(\Delta r)\) задаёт угол \(\beta\). Максимальный угол отклонения жгута \(\beta_{\max}\) определяется из диаграммы, изображённой на рисунке: \[\sin\beta_{\max} = \frac{\mu m g\cos\alpha}{m g\sin\alpha} \quad\Rightarrow\quad \beta_{\max} = \arcsin\left(\frac{\mu}{\mathrm{tg}\,\alpha}\right) = 30^\circ .\]

3) Величину \(\Delta r(\beta_{\max})\) определим, применив теорему Пифагора к векторному треугольнику: \[(3\gamma\Delta r)^2 + (\mu m g\cos\alpha)^2 = (m g\sin\alpha)^2 \quad\Rightarrow\quad \Delta r(\beta_{\max}) = -\frac{m g\sin\alpha}{3\gamma}\sqrt{1 - \frac{\mu^2}{\mathrm{tg}^2\alpha}} .\] Для углов \(\beta < \beta_{\max}\) существует 2 варианта возможных взаимных расположений векторов при равновесии на границе зоны застоя:

По теореме косинусов (не забываем учесть, что \(\Delta r < 0\)): \[(m g\sin\alpha)^2 + (3\gamma\Delta r)^2 + 6\gamma\,\Delta r\, m g\sin\alpha\cos\beta = (\mu m g\cos\alpha)^2 .\] Откуда получаем: \[\Delta r_{1,2} = -\frac{m g\sin\alpha}{3\gamma}\left(\cos\beta \pm \sqrt{\cos^2\beta - 1 + \frac{\mu^2}{\mathrm{tg}^2\alpha}}\right),\] \[r_{1,2}(\beta) = r_0 - \frac{m g\sin\alpha}{3\gamma}\left(\cos\beta \pm \sqrt{\cos^2\beta - 1 + \frac{\mu^2}{\mathrm{tg}^2\alpha}}\right).\] Зона застоя показана на рисунке.