Мелкокалиберная винтовка

Для двух пуль, вылетевших со скоростями \(v_1\) и \(v_2\): \[t_1 = \dfrac{L}{v_1},\qquad t_2 = \dfrac{L}{v_2},\qquad h_1 = \dfrac{gt_1^2}{2},\qquad h_2 = \dfrac{gt_2^2}{2},\] где \(t_1\) — время пролёта наиболее быстрых пуль, \(t_2\) — наиболее медленных, а \(h_1\) и \(h_2\) — соответствующие смещения пуль по вертикали.

Разница высот: \[\Delta h = h_2 - h_1 = \dfrac{gL^2}{2}\left(\dfrac{1}{v_2^2} - \dfrac{1}{v_1^2}\right) = \dfrac{gL^2}{2}\,\dfrac{(v_1 + v_2)(v_1 - v_2)}{v_1^2 v_2^2}.\tag{2} \tag{1}\] Так как разброс скоростей пуль достаточно мал, то \(v_1 + v_2 \approx 2v_0\), \(v_1 - v_2 = \Delta v\), откуда: \[\Delta h \approx \dfrac{gL^2}{2}\cdot\dfrac{2v_0\Delta v}{v_0^4} = \dfrac{gL^2}{v_0^3}\Delta v.\tag{3} \tag{2}\] Отсюда найдём: \[\Delta v \approx \dfrac{v_0^3}{gL^2}\Delta h \approx 29\text{ м/с}.\] Задачу можно решить и точно, поскольку в (2) скорости \(v_1 = v_0\), \(v_2 = v_0 - \Delta v\). Тогда: \[\Delta h = \dfrac{gL^2}{2}\left(\dfrac{1}{(v_0 - \Delta v)^2} - \dfrac{1}{v_0^2}\right).\tag{4} \tag{3}\] Отсюда: \[v_0 - \Delta v = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{v_0^2} - \dfrac{2\Delta h}{gL^2}}},\] или \[\Delta v = v_0\left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{2v_0^2\Delta h}{gL^2}}} - 1\right) = 28{,}6\text{ м/с}.\tag{5} \tag{4}\]