Очень скользкая дорога

Наибольшее ускорение ученика, обусловленное трением, \(a = \mu g\) как при разгоне, так и при торможении (рис. 19). На скользком участке скорость не меняется.

Пусть школьник в течение времени \(t_1\) удаляется с ускорением \(a\) от края дороги. Затем он начинает тормозить с тем же ускорением. До полной остановки уйдёт такое же время \(t_1\). При этом он окажется на расстоянии \(s = at_1^2\) от края дороги. Разгоняясь в сторону границы, он затратит ещё время \(t_2\), чтобы вновь преодолеть расстояние \(s\). При этом \(s = at_2^2/2\). Скорость же на границе \(v = at_2\).

Выражая \(t_1\) через \(t_2\), а затем \(t_2\) через \(v_0\), получим ответ на первый вопрос: \[T_1 = (\sqrt{2} + 1)\dfrac{v_0}{\mu g}.\] Время пересечения дороги \(t_3\) равно: \[t_3 = L/(at_2).\] Полное время движения: \[T = 2t_1 + t_2 + t_3.\] Выражая \(t_1\) через \(t_2\), получим: \[T = (\sqrt{2} + 1)t_2 + L/(at_2).\] Наименьшее время достигается при \((\sqrt{2} + 1)t_2 = L/(at_2)\), то есть при условии: \[t_2^2 = \dfrac{L}{(\sqrt{2} + 1)a}.\] Отсюда: \[T = 2\sqrt{\dfrac{L(\sqrt{2} + 1)}{\mu g}}.\]