Стержень на шарнире и наклонной плоскости

Направление реакции плоскости известно: она перпендикулярна плоскости. Реакцию шарнира разложите на две составляющие и найдите их из уравнений статики.

Силы, действующие на стержень, показаны на рисунке. Направление реакции в точке \(B\) перпендикулярно наклонной плоскости. Направление реакции шарнира \(A\) неизвестно, поэтому введём её вертикальную и горизонтальную составляющие \(R_{A1}\) и \(R_{A2}\).

Условие равенства нулю суммы моментов сил относительно шарнира \(A\) даёт \[\frac{1}{2}lmg = lR_B\cos\alpha,\] где \(l\) — длина стержня. Отсюда \[R_B = \frac{mg}{2\cos\alpha}.\] Проецируя условие равновесия \(\vec R_{A1} + \vec R_{A2} + \vec R_B + m\vec g = 0\) на горизонтальную и вертикальную оси, получим \[R_{A1} = mg - R_B\cos\alpha = \frac{1}{2}mg, \qquad R_{A2} = -R_B\sin\alpha = -\frac{1}{2}mg\,\operatorname{tg}\alpha.\] Отрицательный знак \(R_{A2}\) означает, что сила направлена не так, как было выбрано, а вправо. По теореме Пифагора \[R_A = \sqrt{R_{A1}^2 + R_{A2}^2} = \frac{1}{2}mg\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{mg}{2\cos\alpha}.\] При \(\alpha \to \pi/2\) сила реакции шарнира неограниченно растёт: для компенсации силы тяжести при практически вертикальной плоскости нужна очень большая реакция в точке \(B\), а это приводит к росту горизонтальной составляющей реакции шарнира \(A\).