Затмения звезды на экваторе планеты

Перейдите в систему отсчёта, вращающуюся вместе с планетой. Там звезда и спутник движутся с относительными угловыми скоростями. Затмение повторяется, когда оба относительных поворота укладываются в целое число полных оборотов.

Угловые скорости вращения планеты вокруг своей оси \(\omega_{\text{п}}\), звезды вокруг планеты (в системе звезды) \(\omega_{\text{з}}\) и спутника вокруг планеты \(\omega_{\text{с}}\): \[\omega_{\text{п}} = \frac{2\pi}{T}, \qquad \omega_{\text{з}} = \frac{2\pi}{10T}, \qquad \omega_{\text{с}} = \frac{2\pi}{4T}.\] В системе отсчёта, вращающейся вместе с планетой, угловые скорости звезды и спутника равны \[\omega'_{\text{з}} = \omega_{\text{п}} - \omega_{\text{з}} = \frac{18\pi}{10T}, \qquad \omega'_{\text{с}} = \omega_{\text{п}} - \omega_{\text{с}} = \frac{6\pi}{4T}.\] Затмение повторится в той же точке планеты через время \(t\), если одновременно выполнены уравнения \[2\pi k = \omega'_{\text{з}} t, \qquad 2\pi n = \omega'_{\text{с}} t,\] где \(k\) и \(n\) — целые числа. Подбором целых решений находим минимальные \(k = 6\), \(n = 5\). Из любого уравнения системы можно найти минимальное время между затмениями \[t = \frac{10}{3}T.\]