Симметричная цепь из резисторов r и 2r

Цепь симметрична относительно поворота на 180°, поэтому токи в симметричных ветвях равны. Введите ток в каждой ветви и запишите правило токов в узлах и правило напряжений для двух контуров.

Цепь обладает значительной симметрией: при изменении направлений всех токов мы с одной стороны должны получить ту же цепь, с другой — поменять местами верх и низ цепи. Это позволяет приписать токи каждому участку так, как показано на рисунке (ток в цепи течёт слева направо). Токи \(I_x\) и \(\Delta I\) выбраны условно: если в результате расчёта окажутся отрицательными, их направление противоположно.

Правило токов в узлах 1 и 2 (сумма втекающих токов равна сумме вытекающих), а затем в узле 3 даёт соотношение \[I_1 + 2\Delta I - I_x = I_2.\] Правило напряжений для замкнутых контуров \(0\text{-}2\text{-}1\text{-}0\) и \(2\text{-}4\text{-}1\text{-}2\) (напряжение положительно, если обход идёт по току) с учётом (*) даёт \[I_1r - \Delta I\,2r - I_2r = 0, \qquad \left(I_1 + 2\Delta I - I_2\right)r - \left(I_2 - \Delta I\right)r + \Delta I\,2r = 0,\] или \[I_1 - 2\Delta I = I_2, \qquad I_1 + 5\Delta I = 2I_2.\] Вычитая первое уравнение из второго, получим \[\Delta I = \frac{1}{7}I_2, \qquad I_1 = \frac{9}{7}I_2.\] Пусть в цепи течёт ток \(I\). Поскольку в узле \(0\) он делится на \(I_1\) и \(I_2\) в пропорции выше, находим \[I_1 = \frac{9}{16}I, \qquad I_2 = \frac{7}{16}I, \qquad \Delta I = \frac{1}{16}I.\] Падение напряжения на цепи найдём по нижнему участку \(0\text{-}1\text{-}4\text{-}0_1\): \[U = I_2r + \left(I_2 - \Delta I\right)r + I_1r = \frac{7Ir}{16} + \frac{6Ir}{16} + \frac{9Ir}{16} = \frac{11}{8}Ir.\] Отсюда общее сопротивление цепи \[R = \frac{11}{8}r.\]