Два броска на одну дальность

Углы бросания при одинаковой дальности связаны простым соотношением. Выразите времена полёта через углы и перемножьте их.

Дальность полёта тела, брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту, \[L = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g},\] где \(v_0\) — начальная скорость, \(\alpha\) — угол бросания. Из этой формулы следует, что при бросках под углами \(\alpha\) и \(90^\circ - \alpha\) (и одинаковой начальной скорости) дальность полёта одинакова. Поэтому углы в двух случаях связаны соотношением \[\alpha_1 = 90^\circ - \alpha_2.\] Время полёта \[t = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}.\] Тогда \[t_1 = \frac{2v_0\sin\alpha_1}{g}, \qquad t_2 = \frac{2v_0\sin\alpha_2}{g} = \frac{2v_0\sin(90^\circ - \alpha_1)}{g} = \frac{2v_0\cos\alpha_1}{g}.\] Перемножая времена, получаем \[t_1t_2 = \frac{4v_0^2\sin\alpha_1\cos\alpha_1}{g^2} = \frac{2L}{g}.\] То есть произведение времён полёта по этим траекториям зависит только от длины пути, но не от углов и начальной скорости. Отсюда \[t_2 = \frac{2L}{gt_1}.\]