Линза и плоское зеркало

Рассмотрите два пути света: отражение от зеркала до прохождения линзы и после неё. Для каждого случая найдите изображение по формуле тонкой линзы и положите зеркало посередине между источником и точкой изображения.

По условию не сказано, с какой стороны от линзы должно попасть изображение, сказано лишь, что оно должно оказаться на главной оптической оси на расстоянии \(L = 2a\). Таких точек две. Решим задачу для произвольной величины \(L > a\), а в ответах положим \(L = 2a\).

Самое простое — расположить зеркало так, чтобы изображение лампочки в нём, минуя линзу, оказалось в нужной точке: свет от лампочки попадает на зеркало, не пройдя сквозь линзу. Мнимое изображение лампочки в плоском зеркале находится на таком же расстоянии за зеркалом, что и лампочка перед зеркалом. Зеркало надо поставить перпендикулярно главной оптической оси точно посередине между лампочкой и точкой, куда должно попасть изображение. Зеркало должно быть с той же стороны от линзы, что и лампочка, и располагаться на расстоянии \(a + \dfrac{L - a}{2} = \dfrac{a + L}{2} = \dfrac{3a}{2}\) от центра линзы.

Можно поступить и иначе. Предположим, что свет прошёл через линзу и образовал изображение на расстоянии \(b\) от неё. По формуле тонкой линзы \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{F a}{a - F}.\] Чтобы изображение попало в точку на расстоянии \(L\) от центра линзы, зеркало ставят посередине между промежуточным изображением и конечной точкой. Тогда лучи, прошедшие через линзу, после отражения от зеркала формируют изображение за зеркалом в нужном месте. Зеркало располагается с противоположной от линзы стороны, чем лампочка, на расстоянии \[b + \frac{L - b}{2} = \frac{L + b}{2} = a + \frac{Fa}{2(a - F)}.\]

Можно поступить наоборот. Сначала свет лампочки отражается от зеркала и формирует в нём изображение, а отражённый свет затем проходит линзу и образует изображение в точности на расстоянии \(L = 2a\) от линзы. Изображение лампочки в зеркале должно быть на расстоянии \(x\) от линзы, причём по формуле тонкой линзы \[\frac{1}{x} + \frac{1}{L} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{F L}{L - F}.\] При этом способе зеркало располагается с той же стороны от линзы, что и лампочка, на расстоянии \[a + \frac{x - a}{2} = \frac{x + a}{2} = \frac{F L}{2(L - F)} + \frac{a}{2} = \frac{Fa}{2a - F} + \frac{a}{2}.\]

Наконец, свет может пройти через линзу дважды: отразиться от зеркала, снова пройти линзу и сформировать изображение на расстоянии \(L\) от её центра. Тогда изображение лампочки после прохождения линзы и отражения от зеркала должно быть на расстоянии \(x\) правее центра линзы; после прохождения лучами только линзы изображение формируется на расстоянии \(b\). Значит, зеркало надо поставить посередине между \(x\) и \(b\), т.е. с противоположной от линзы стороны на расстоянии \[\frac{x + b}{2} = \frac{FL}{2(L - F)} + \frac{Fa}{2(a - F)} = \frac{Fa}{2a - F} + \frac{Fa}{2a - 2F}.\] При \(L = 2a\) получаем четыре варианта, перечисленные в ответе.