Разрыв снаряда в полёте

Продолжите параболу осколка за точку взрыва до земли: она совпадает с траекторией тела, брошенного с земли со скоростью \(V_1\) под углом \(\beta\). Энергию взрыва найдите в системе отсчёта снаряда непосредственно до разрыва.

До взрыва снаряд движется по параболе \[y = \operatorname{tg}\alpha \, x - \frac{g x^2}{2 V_0^2 \cos^2\alpha}.\] Мысленно продолжив эту параболу за точку взрыва до земли, введём дальность полёта по ней, если бы взрыва не было: \[l_0 = \frac{V_0^2 \sin 2\alpha}{g}.\] Аналогично для осколка, отлетевшего на большее расстояние, траектория определяется параметрами \(V_1\) и \(\beta\), и \[l_1 = \frac{V_1^2 \sin 2\beta}{g}.\] Если обозначить через \(d\) расстояние от точки взрыва до земли по параболе, то полная дальность \(L = l_0 + l_1 - d\). Она максимальна, когда \(d = 0\), т.е. когда взрыв произошёл у поверхности земли: \[L_{\max} = l_0 + l_1 = \frac{V_0^2 \left(\sin 2\alpha + 4 \sin 2\beta\right)}{g}.\]

Теперь найдём энергию взрыва \(E\). Непосредственно до взрыва снаряд движется со скоростью \(V_0\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Скорость рассматриваемого осколка сразу после взрыва равна \(V_1\) и направлена от земли под углом \(\beta\). Перейдём в систему отсчёта, связанную со снарядом непосредственно до взрыва. В ней осколки разлетаются после взрыва с одинаковыми по модулю скоростями \(u\) и противоположными по направлению (закон сохранения импульса выполняется благодаря мгновенности взрыва). Эта скорость обеспечивается энергией взрыва: \[E = 2 \cdot \frac{m u^2}{2} = m u^2.\] По правилу перехода из одной системы отсчёта в другую \(\vec u = \vec V_1 - \vec V_0\), поэтому \[E = m u^2 = m \left(V_1^2 + V_0^2 - 2 V_1 V_0 \cos(\alpha + \beta)\right) = m V_0^2 \left(5 - 4\cos(\alpha + \beta)\right).\]