Цепь с ползунковыми реостатами

Сначала найдите неизвестное сопротивление из первого условия, затем упростите схему во втором положении ползунков: сгруппируйте параллельные и последовательные участки.

Рассмотрим первую конфигурацию, когда ползунок реостата \(P_1\) находится посередине, а ползунок \(P_2\) в крайнем правом положении. Эквивалентная схема при подключении напряжения к точкам \(B\) и \(C\) состоит из параллельного соединения ветвей \(2R\), \(R/2\) и \(R\) и последовательного с ним участка из параллельных \(r\) и \(R/2\). Полное сопротивление такой цепи: \[R_{BC} = \frac{1}{\dfrac{1}{2R} + \dfrac{2}{R} + \dfrac{1}{R}} + \frac{r \cdot (R/2)}{r + R/2} = \frac{2}{7}R + \frac{rR}{R + 2r}.\] Приравнивая эту величину к \(5R/7\), находим \(r = 3R\).

Для второго вопроса рассмотрим случай, когда ползунок \(P_1\) находится в крайнем правом положении, а ползунок \(P_2\) расположен посередине. Обозначим эквивалентное сопротивление трёх верхних резисторов \(2R\), \(R/2\) и \(R\) через \(R_*\) — оно состоит из параллельного соединения \(2R\) и \(R/2\), последовательно соединённого с \(R\): \[R_* = \frac{2R \cdot (R/2)}{2R + R/2} + R = \frac{7}{5}R.\] Тогда, с учётом параллельного резистора \(R/2\) и резистора \(r = 3R\), \[R_{AC} = \frac{1}{\dfrac{1}{R_*} + \dfrac{2}{R} + \dfrac{1}{3R}} = \frac{21}{64}\,R.\]