Заряд на круговой орбите при росте поля

Вихревое электрическое поле, возникающее при изменении индукции, разгоняет заряд. Сравните приращение его кинетической энергии с изменением радиуса при изменении \(B\).

В постоянном магнитном поле заряд движется по окружности (если начальная скорость заряда перпендикулярна линиям магнитной индукции). При этом индукция магнитного поля \(B\), скорость заряда \(v\) и радиус его орбиты \(R\) связаны соотношением, которое представляет собой второй закон Ньютона для этого заряда: \[qvB = \frac{mv^2}{R} \quad\Rightarrow\quad \frac{q}{m}\,BR = v .\] Поскольку по условию магнитное поле изменяется медленно, можно считать, что в каждый момент времени заряд движется по окружности, и соотношение (1) имеет место. Однако при изменении индукции скорость заряда и радиус орбиты будут также меняться, но их приращения \(\Delta v\) и \(\Delta R\) связаны соотношением, которое следует из (1): \[\frac{q}{m}\,R\,\Delta B + \frac{q}{m}\,B\,\Delta R = \Delta v .\] С другой стороны, согласно закону электромагнитной индукции при изменении магнитного поля возникнет вихревое электрическое поле, которое и будет разгонять заряд. Работа вихревого электрического поля над зарядом равна \(q\,\dfrac{\Delta B S}{\Delta t}\) при обходе по орбите, где \(S\) — площадь орбиты; при перемещении на \(v\Delta t\) по окружности она равна \[q\,\frac{\Delta B\,S}{\Delta t}\cdot\frac{v\Delta t}{2\pi R} = \frac{qvR\,\Delta B}{2} .\] Применяя теперь к заряду теорему об изменении кинетической энергии, получим для приращения его кинетической энергии за время \(\Delta t\): \[\frac{qvR\,\Delta B}{2} = \Delta\!\left(\frac{mv^2}{2}\right) = mv\,\Delta v .\] Подставляя приращение скорости заряда в предыдущее соотношение, получим \[\frac{1}{2}\,R\,\Delta B + B\,\Delta R = 0 .\] Умножая это равенство на \(2R\) и учитывая, что \(\Delta(R^2) = 2R\,\Delta R\): \[R^2\,\Delta B + 2RB\,\Delta R = 0 \quad\Rightarrow\quad \Delta(BR^2) = 0 .\] Из этого следует, что произведение индукции магнитного поля на квадрат радиуса орбиты не изменяется при медленном изменении индукции. Поэтому, если индукция магнитного поля увеличивается в два раза, радиус орбиты уменьшается в \(\sqrt{2}\) раз.