Спица с грузами на кольце
6/10К маленькому невесомому кольцу шарнирно прикреплена легкая спица длиной \(l\). На середине и конце спицы закреплены точечные тела массой \(2m\) и \(m\). Кольцо надето на гладкий горизонтальный стержень. В начальный момент спицу удерживали горизонтально, а затем отпустили. Найти скорости кольца и тел, когда спица проходит вертикальное положение. Считать, что масса спицы равна нулю.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаВнешние силы, действующие на систему, вертикальны, поэтому горизонтальный импульс системы равен нулю. Из этого найдите соотношение скоростей тел в вертикальном положении спицы.
Ответ\(v = \sqrt{\dfrac{8gl}{3}}\) — скорость шарика массой \(m\); скорость шарика массой \(2m\) равна \(v/2\).
РешениеПоскольку все внешние силы, действующие на систему «спица–шарики», вертикальны, центр тяжести системы может двигаться только вертикально. Поэтому в любой момент времени горизонтальные составляющие скоростей шариков отличаются вдвое. Пусть в тот момент, когда спица вертикальна, скорость нижнего шарика (с массой \(m\)) равна \(v\). Тогда скорость верхнего шарика равна \(v/2\). Используем далее закон сохранения энергии. Поскольку убыль потенциальной энергии системы равна \[2mg\,\frac{l}{2} + mgl = 2mgl ,\] закон сохранения механической энергии даёт \[2mgl = \frac{2m\,(v/2)^2}{2} + \frac{mv^2}{2} .\] Отсюда находим \[v = \sqrt{\frac{8gl}{3}} .\]
Похожие задачи
- Монета на подвижных горках Физтех 2007/08, 11 кл.
- Спуск по желобу ВсОШ 2010/11, 9 кл.
- Нелинейная пружина МОШ 2011/12, 10 кл.
- Пружина и шарик ВсОШ 2011/12, 9 кл.
- Брусок на доске у упора Физтех 2012/13, 11 кл.
- Набор высоты самолётом МОШ 2013/14, 9 кл.