Стрелки часов

Перейдите в систему отсчета, связанную с минутной стрелкой: конец часовой стрелки движется в ней по окружности с постоянной скоростью. Когда скорость удаления максимальна?

Скорость удаления конца часовой стрелки от конца минутной определяется тем, как растет расстояние между концами стрелок, и потому не зависит от системы отсчета. Перейдем в систему отсчета, в которой минутная стрелка не вращается. В ней часовая стрелка вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью \(\omega_{\text{мин}} - \omega_{\text{час}}\), и ее конец движется с постоянной по величине скоростью. Поэтому скорость удаления конца часовой стрелки от конца минутной будет максимальной тогда, когда вектор скорости часовой стрелки направлен вдоль прямой, соединяющей концы стрелок (см. рисунок).

В этот момент прямая из конца минутной стрелки к концу часовой является касательной к окружности, по которой движется конец часовой стрелки. Так как длина часовой стрелки вдвое меньше длины минутной, угол между стрелками составляет \(60^\circ\). Этот угол составляет шестую часть полного угла, поэтому стрелка пройдет его за шестую часть времени \(T\), за которое она совершает полный оборот вокруг минутной стрелки: \[T = \frac{2\pi}{\omega_{\text{мин}} - \omega_{\text{час}}} = \frac{60\cdot 12}{11}\text{ мин} \approx 65{,}5\text{ мин}.\] Скорость удаления максимальна через шестую часть этого времени: \[\Delta t = \frac{T}{6} = \frac{60\cdot 12}{11\cdot 6}\text{ мин} \approx 10{,}9\text{ мин}.\]