Тепловой поток в стержнях

В равновесии тепловой поток в каждой вершине равен нулю: запишите баланс потоков в вершинах 2 и 4 по закону Фурье.

Очевидно, что в равновесии тепловой поток по стержню 1-2 равен сумме тепловых потоков по стержням 2-3 и 2-4. Поэтому из закона Фурье, где \(l\) — длина стержня 1-2, \[\frac{t_1 - t_2}{l} = \frac{t_2 - t_3}{2l} + \frac{t_2 - t_4}{3l} \quad\Rightarrow\quad 6t_1 + 3t_3 = 11t_2 - 2t_4. \qquad (*)\] Аналогично, тепловой поток по стержню 4-3 равен сумме тепловых потоков по стержням 2-4 и 1-4: \[\frac{t_4 - t_3}{l} = \frac{t_2 - t_4}{3l} + \frac{t_1 - t_4}{2l} \quad\Rightarrow\quad 3t_1 + 6t_3 = -2t_2 + 11t_4. \qquad (**)\] Решая систему \((*)\)–\((**)\), получим \[t_2 = \frac{72t_1 + 45t_3}{117} = 61{,}5\,^\circ\text{C}, \qquad t_4 = \frac{45t_1 + 72t_3}{117} = 38{,}5\,^\circ\text{C}.\]