Буй из двух конусов

Условие равновесия буя без учета воды внутри даёт объём его подводной части, не заполненной водой; геометрия расстояний от середины буя до двух уровней воды даёт минимум.

Пусть в буй просочилась вода и он погрузился на некоторую глубину (см. рисунок). Условие равновесия: сила тяжести равна силе Архимеда, \[(M + m)g = \rho g V_{\text{п.ч.}},\] где \(M\) — масса буя, \(m\) — масса воды в буе, \(\rho\) — плотность воды, \(V_{\text{п.ч.}}\) — объем погруженной в воду части буя. Объем погруженной части складывается из объема \(V_{\text{п.ч.с.в.}}\), заполненного водой, и объема \(V_{\text{п.ч.б.в.}}\) без воды: \[(M + m)g = \rho g\left(V_{\text{п.ч.с.в.}} + V_{\text{п.ч.б.в.}}\right).\] Пренебрегая толщиной стенок, \(m = \rho V_{\text{п.ч.с.в.}}\), поэтому условие равновесия дает \[M = \rho V_{\text{п.ч.б.в.}}.\] Из этой формулы следует, что объем подводной части буя, не заполненный водой, определяется только массой самого буя и не меняется в процессе погружения. Расстояние между уровнем воды внутри буя и уровнем воды в водоеме максимально, когда максимальна ширина части буя, расположенной между этими уровнями; значит, это расстояние минимально, если расстояния от середины буя до уровня воды внутри и до уровня воды в водоеме одинаковы (обозначим их \(x\)). Найдем эти расстояния.

Из условия равновесия буя без воды (он погружается ровно наполовину): \[M = \rho V_{\text{п.ч.б.в.}} = \rho\,\frac13\pi R^2 h = \rho\,\frac13\pi h^3\tg^2\alpha,\] где \(R\) — радиус самой широкой части буя. Если буй заполнен водой слоем высотой \(h_1\), то объем незаполненной водой части буя от его средней части до уровня воды внутри буя равен \[V = \frac13\pi\left(h^3 - h_1^3\right)\tg^2\alpha.\] В случае минимального расстояния между уровнями объем незаполненной водой подводной части буя равен удвоенному объему \((*)\) и равен объему половины буя: \[\frac23\pi\left(h^3 - h_1^3\right)\tg^2\alpha = \frac13\pi h^3\tg^2\alpha.\] Отсюда \[h_1 = \frac{h}{\sqrt[3]{2}} \quad\Rightarrow\quad x = h - h_1 = \frac{h\left(\sqrt[3]{2} - 1\right)}{\sqrt[3]{2}}.\] Минимальное расстояние между уровнями воды внутри буя и в водоеме равно \[\Delta h_{\min} = 2(h - h_1) = \frac{2h\left(\sqrt[3]{2} - 1\right)}{\sqrt[3]{2}} \approx 0{,}41\,h = 0{,}41~\text{м}.\] От угла при вершине буя ответ не зависит.