Проволочная полуокружность на опоре

Центр тяжести полуокружности лежит на вертикали через точку опоры. Найдите угол наклона диаметра (касательной к опоре) и сравните его тангенс с коэффициентом трения.

Полуокружность касается опоры в одной точке, и ее центр тяжести лежит на одной вертикали с точкой касания. Поэтому на опору она опирается наклоненным участком; она начнет скользить, если \(\mu < \operatorname{tg}\alpha\), и будет покоиться при \(\mu \ge \operatorname{tg}\alpha\), где \(\alpha\) — угол наклона этого участка к горизонту.

Центр тяжести полуокружности (массы участков пропорциональны длине, линейная плотность \(\lambda = m/(\pi R)\)) находится на расстоянии \[y_c = \frac{2}{\pi}\,R\] от центра. Для проекции участка \(\Delta l_i\) на ось \(y\) получаем сумму \(\sum \Delta l_i\cos\varphi_i = 2R\), что и дает \(y_c\).

Угол \(\alpha\) между диаметром (радиусом к центру тяжести) и касательной найдем по теореме косинусов, и затем \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\varphi}{\dfrac{\pi}{2} - \cos\varphi}.\] Тогда условие равновесия \[\mu \ge \frac{\sin\varphi}{\dfrac{\pi}{2} - \cos\varphi},\] т.е. минимальный коэффициент трения \(\mu_{\min} = \dfrac{\sin\varphi}{\dfrac{\pi}{2} - \cos\varphi}\).

Найдем максимум по \(\varphi\), приравняв производную нулю: \[\frac{d\mu_{\min}}{d\varphi} = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi_{\max} = \frac{2}{\pi}.\] Тогда \(\sin\varphi = \dfrac{\sqrt{\pi^2 - 4}}{\pi}\), и наибольшее значение минимального коэффициента трения \[\left(\mu_{\min}\right)_{\max} = \frac{2}{\sqrt{\pi^2 - 4}} \approx 0{,}83.\] При \(\mu\) больше этого значения полуокружность находится в равновесии при любом угле \(\varphi\).