Автомобиль и конвейеры

Обозначим через \(u_1\) скорость автомобиля относительно первого конвейера, а через \(u_2\) — скорость автомобиля относительно второго конвейера. Тогда время, прошедшее с момента въезда автомобиля на первый конвейер до съезда со второго, равно \(t = \dfrac{L}{v_1 + u_1} + \dfrac{L}{v_2 + u_2}\), а счётчик пройденного автомобилем пути к моменту съезда со второго конвейера показал величину \(L = \dfrac{L}{v_1 + u_1}u_1 + \dfrac{L}{v_2 + u_2}u_2\).

Выразим из второго уравнения скорость \(u_1 = \dfrac{v_1v_2}{u_2}\) и подставим её в первое уравнение: \[\dfrac{t}{L} = \dfrac{1}{v_1 + \dfrac{v_1v_2}{u_2}} + \dfrac{1}{v_2 + u_2} = \dfrac{u_2}{v_1u_2 + v_1v_2} + \dfrac{1}{v_2 + u_2} = \dfrac{1}{v_1}\cdot\dfrac{v_1 + u_2}{v_2 + u_2}.\] Отсюда \[u_2 = \dfrac{v_2t - L}{L - v_1t}\cdot v_1 = 20\text{ км/ч}\quad\text{и}\quad u_1 = \dfrac{v_1v_2}{u_2} = \dfrac{L - v_1t}{v_2t - L}\cdot v_2 = 30\text{ км/ч}.\]