Космический корабль после выключения двигателя

Найдём при помощи графика ускорение корабля в момент времени сразу после выключения двигателя. Для этого проведём касательную к графику в точке \(t = 0\) (см. рис. 1.141).

По определению величина ускорения равна модулю углового коэффициента этой касательной: \(a_0 = \left|\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\right| = \dfrac{v_0}{3\tau}\).

Поскольку на корабль после выключения двигателя действует только гравитационная сила со стороны небесного тела, то \(ma_0 = \dfrac{GmM}{R_0^2}\), где \(G\) — гравитационная постоянная, \(m\) — масса корабля, \(M\) — масса небесного тела, \(R_0\) — искомое расстояние.

После удаления корабля на очень большое расстояние от небесного тела скорость корабля уменьшается до величины \(v_1 = v_0/3\) и становится постоянной. Применяя закон сохранения механической энергии для корабля в гравитационном поле планеты, получим: \[\dfrac{mv_1^2}{2} - \dfrac{mv_0^2}{2} = -\dfrac{GmM}{R_0} = -ma_0R_0.\] Отсюда \[R_0 = \dfrac{v_0^2 - v_1^2}{2a_0} = \dfrac{3\tau}{2v_0}(v_0^2 - v_1^2) = \dfrac{3\tau}{2v_0}\left(v_0^2 - \dfrac{v_0^2}{9}\right) = \dfrac{4}{3}\tau v_0.\]