Доска на границе гладкой и шероховатой поверхности

Поскольку в условии задана минимальная работа \(A\), то можно считать, что доску перетаскивают через линию медленно, и её кинетическая энергия равна нулю. При этом работа, которую нужно совершить для перетаскивания доски на шероховатую поверхность, частично переходит в тепло (обозначим его \(Q\)), а частично — в потенциальную энергию \(U\) пружины, которая к концу процесса перетаскивания оказывается деформированной. Обозначим массу доски через \(m\), коэффициент трения доски о шероховатую поверхность — через \(\mu\). Тогда в момент, когда на шероховатой поверхности оказалась часть однородной доски длиной \(x\), на неё действует сила трения \[F_{\text{тр}}(x) = \mu\Delta mg = \mu g\dfrac{m}{L}x,\] где \(\Delta m = \dfrac{m}{L}x\) — масса части доски, перетащенной через линию. Видно, что сила трения возрастает пропорционально величине \(x\), которая при перетаскивании меняется от 0 до \(L\). Работа силы трения на малом участке пути \(\Delta x\) равна \[F_{\text{тр}}(x)\Delta x = \dfrac{\mu mg}{L}x\Delta x = \dfrac{\mu mg}{L}\Delta\left(\dfrac{x^2}{2}\right).\] Суммарная работа силы трения по абсолютной величине равна искомому количеству теплоты: \(|A_{\text{тр}}| = Q = \dfrac{\mu mg}{L}\cdot\dfrac{L^2}{2} = \dfrac{\mu mgL}{2}\). Этот результат можно получить несколькими способами: по аналогии с формулой для потенциальной энергии, запасённой в растянутой пружине (сила также пропорциональна смещению); графически, вычисляя работу силы трения, как площадь под графиком зависимости \(F_{\text{тр}}(x)\); наконец, непосредственно, путём интегрирования.

Когда вся доска окажется на шероховатой поверхности, пружина будет растянута на некоторую величину \(l\). При этом сила натяжения пружины будет равна силе трения, действующей со стороны поверхности на всю доску: \(kl = \mu mg\). Отсюда \(l = \mu mg/k\). Потенциальная энергия, запасённая к этому моменту в пружине, будет равна \[U = \dfrac{kl^2}{2} = \dfrac{(\mu mg)^2}{2k} = \dfrac{2Q^2}{kL^2}.\] Таким образом, можно записать: \[A = Q + U = Q + \dfrac{2Q^2}{kL^2}\quad\text{или}\quad \dfrac{2}{kL^2}Q^2 + Q - A = 0.\] Решая полученное квадратное уравнение, найдём \(Q\): \[Q = \dfrac{kL^2}{4}\left(\sqrt{1 + \dfrac{8A}{kL^2}} - 1\right) = 5\text{ Дж}.\] Оставшиеся \(U = A - Q = 12{,}5\) Дж запасаются в виде потенциальной энергии в растянутой пружине.