Задачи › Первый закон, работа газа

Баллон и шарик

  1. Баллон и шарик

    Санкт-Петербургская 2021/22, 11 кл.
    7/10

    В герметичном контейнере находится закрытый баллон объёма \(V_0\) с азотом \(\text{N}_2\) при давлении \(P_0\) и подсоединённый к баллону упругий шарик. Первоначально оболочка шарика пуста, не натянута и имеет объём \(V_1\), в контейнере вакуум.

    Из баллона в шарик начинают выпускать азот, так что шарик медленно надувается. При этом температура контейнера и всего его содержимого остаётся равной температуре \(T_0\) окружающей среды вокруг контейнера.

    По мере раздувания оболочки шарика давление в нём растёт. Зависимость давления внутри шарика от его объёма представлена на графике (\(P_1\) и \(P_2\) известны). В момент, когда объём шарика увеличился в два раза, \(V_2=2V_1\), шарик соскальзывает с баллона и падает на дно контейнера. Весь газ из баллона и шарика вытекает в контейнер. В системе быстро устанавливается равновесие. Какая температура установится внутри контейнера, если предположить, что за время установления этого равновесия контейнер не успел обменяться теплом с окружающей средой?

    Теплоёмкостью оболочки шарика, теплоёмкостью пустого баллона и контейнера пренебречь. Газ считать идеальным.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Работа по растяжению шарика совершается за счёт теплоты, поступающей из окружающей среды. Какова полная внутренняя энергия азота до и после надувания, и чему равна работа по растяжению оболочки (площадь под графиком)?

    Ответ

    \(T'=T_0\left(1+\dfrac{(P_1+P_2)V_1}{5P_0V_0}\right)\).

    Решение

    Азот в начале имеет \(\nu=\dfrac{P_0V_0}{RT_0}\) моль и внутреннюю энергию \(E=\dfrac52\nu RT_0=\dfrac52P_0V_0\). Температура азота во время надувания постоянна, поэтому его внутренняя энергия не меняется. Работа по растяжению оболочки \(A\) численно равна площади под графиком: \(A=\dfrac{(P_1+P_2)(V_2-V_1)}{2}=\dfrac{(P_1+P_2)V_1}{2}\). Эта работа совершается за счёт тепла, которое медленно поступает из окружающей среды, и запасается в деформации оболочки.

    К моменту, когда шарик сорвался с баллона, система имеет энергию \(E+A\). Далее азот распространяется по контейнеру (работы не совершает, так как там вакуум), а запасённая в оболочке энергия \(A\) выделяется в тепло, и вся энергия снова оказывается в тепловой форме. Теплоёмкость азота \(\dfrac52\nu R\), поэтому \[T'=\frac{E+A}{\frac52\nu R}=T_0\left(1+\frac{(P_1+P_2)V_1}{5P_0V_0}\right).\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх